Matemática, perguntado por dsmas, 9 meses atrás

Dado z = 5 ( cos 30º + i sen30º) e w = 7 ( cos 60º + i sen 60º ) , qual o valor de z.w ?



( ) z.w = 12 ( cos 90º + isen 90º)



( ) z.w = 35 ( cos 1800º + isen 1800º)



( ) z.w = 35 ( cos 180º + isen 180º)



( ) z.w = 35 ( cos 90º + isen 90º)



( ) z.w = 12 ( cosº 1800 + isen 1800º)

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{d)~z\cdot w=35 (\cos(90\°)+i\sin(90\°))}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos a propriedade do produto de números complexos em sua forma trigonométrica.

Sejam os números complexos z_1 e z_2, de formas trigonométricas \rho_1\cdot(\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1)) e \rho_2\cdot(\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2)) respectivamente, tal que \rho_1 e \rho_2 são os módulos destes números.

Ao fazermos z_1\cdot z_2, teremos:

z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2)\cdot \cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)+i^2\sin(\theta_1)\cdot\sin(\theta_2))

Ao somarmos os termos semelhantes e fazendo i^2=-1, teremos

z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)+i(\sin(\theta_2)\cdot\cos(\theta_1)+\sin(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2))-\sin(\theta_1)\cdot\sin(\theta_2))

Observe que ao reorganizarmos os termos, teremos

z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)-\sin(\theta_1)\cdot\sin(\theta_2)+i(\sin(\theta_2)\cdot\cos(\theta_1)+\sin(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)))

Isso se trata das fórmulas de soma de arco, logo

z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))

Temos os números complexos z=5(\cos(30\°)+i\sin(30\°)) e w=7(\cos(60\°)+i\sin(60\°))

O valor de z\cdot w será:

z\cdot w=5\cdot 7 (\cos(30\°+60\°)+i\sin(30\°+60\°))

Multiplique e some os valores

z\cdot w=35 (\cos(90\°)+i\sin(90\°))

Este é o produto entre os números z e w e é a resposta contida na letra d).


dsmas: Olá, boa noite obrigada pela excelente resolução !!!
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