Question

Dado z = 5 ( cos 30º + i sen30º) e w = 7 ( cos 60º + i sen 60º ) , qual o valor de z.w ?



( ) z.w = 12 ( cos 90º + isen 90º)



( ) z.w = 35 ( cos 1800º + isen 1800º)



( ) z.w = 35 ( cos 180º + isen 180º)



( ) z.w = 35 ( cos 90º + isen 90º)



( ) z.w = 12 ( cosº 1800 + isen 1800º)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d)~z\cdot w=35 (\cos(90\°)+i\sin(90\°))}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos a propriedade do produto de números complexos em sua forma trigonométrica.

Sejam os números complexos $z_1$ e $z_2$, de formas trigonométricas $\rho_1\cdot(\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1))$ e $\rho_2\cdot(\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))$ respectivamente, tal que $\rho_1$ e $\rho_2$ são os módulos destes números.

Ao fazermos $z_1\cdot z_2$, teremos:

$z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2)\cdot \cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)+i^2\sin(\theta_1)\cdot\sin(\theta_2))$

Ao somarmos os termos semelhantes e fazendo $i^2=-1$, teremos

$z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)+i(\sin(\theta_2)\cdot\cos(\theta_1)+\sin(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2))-\sin(\theta_1)\cdot\sin(\theta_2))$

Observe que ao reorganizarmos os termos, teremos

$z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)-\sin(\theta_1)\cdot\sin(\theta_2)+i(\sin(\theta_2)\cdot\cos(\theta_1)+\sin(\theta_1)\cdot\cos(\theta_2)))$

Isso se trata das fórmulas de soma de arco, logo

$z_1\cdot z_2=\rho_1\cdot \rho_2\cdot (\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))$

Temos os números complexos $z=5(\cos(30\°)+i\sin(30\°))$ e $w=7(\cos(60\°)+i\sin(60\°))$

O valor de $z\cdot w$ será:

$z\cdot w=5\cdot 7 (\cos(30\°+60\°)+i\sin(30\°+60\°))$

Multiplique e some os valores

$z\cdot w=35 (\cos(90\°)+i\sin(90\°))$

Este é o produto entre os números $z$ e $w$ e é a resposta contida na letra d).