Question

Dado y= cos(2arcsen 2/3), temos que
a) y=3
b) y=4/3
c) y= 1/9
d) y=3/2
e) y=1/3
A RESPOSTA É LETRA C MAS PRECISO DOS CÁLCULOS PFFF

Answer 1

Resposta:

Solução:  

Seja w = arcsen 2/3. Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem:

sen2w + cos2w = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria).

Substituindo o valor de senw vem:

(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9.

Logo:

cosw = ± Ö 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de

–90º a +90º,  intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +Ö 5 /3.  

Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (Ö 5/3)] = 2/Ö 5

Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2Ö 5)/ 5 que é o valor de y procurado.

2. Calcular o valor de y = sen(arc tg 3/4).

Solução:  

Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever:  

tgw = 3/4 Þ senw / cosw = 3/4 Þ senw = (3/4).cosw

Da relação fundamental da Trigonometria, sen2w + cos2w = 1, vem, substituindo o valor de senw:

[(3/4).cosw]2 + cos2w = 1 \ 9/16.cos2w + cos2w = 1 \ 25/16 . cos2w = 1

cos2w = 16/25 Þ cosw = ± 4/5.

Como w = arctg 3/4, sabemos da definição da função arco tangente que w varia no intervalo

–90º a +90º , intervalo no qual o coseno é positivo.  

Logo, cosw = + 4/5.

Mas, senw = (3/4).cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto:

y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que é a resposta procurada.

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Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Repare que

$cos(2a) = cos^2 a - sen^2a$

Isso significa que

$cos \left( 2 \cdot arcsen \ 2/3) = cos^2(arcsen \ 2/3) - sen^2(arcsen \ 2/3) \\\\= cos^2(arcsen \ 2/3) - (2/3)^2\\= cos^2(arcsen \ 2/3) - 4/9$

Lembrando que o seno do arcseno de x é igual a x, por isso que sen(arcsen 2/3) é 2/3. Sen e arcsen são funções inversas.

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Agora, a única parte faltando é calcular cos(arcsen 2/3)

Para isso, inventamos um triângulo retângulo com um ângulo θ. E esse ângulo será tal que sen θ = 2/3 (ou seja θ = arcsen 2/3)

Repare que sen = oposto/hipotenusa, por isso coloquei o cateto oposto valendo 2 e a hipotenusa 3. Para que θ = arcsen 2/3.

Com o teorema de pitágoras, achamoso lado que falta (vale √5).

O importante é: o cosseno de θ é cos(θ) = cos(arcsen 2/3), que é exatamente o que queremos. E isso é simples de calcular, é o cateto adjacente sobre a hipotenusa

$cos (arcsen \ 2/3) = \dfrac{x}{3} = \dfrac{\sqrt 5}{3}$

Com isso calculado, podemos pegar o resultado lá de cima

$cos(2 \cdot arcsen \ 2/3) = cos^2(arcsen \ 2/3) - 4/9\\\\= \left( \dfrac{\sqrt 5}{3} \right) ^2 - 4/9\\\\= 5/9 - 4/9\\= \boxed{\dfrac{1}{9}}$