Question

dado w= (-4, -2, -21), determinar os valores de alfa e beta tais que w seja combinação linear de u= (1, -1, 0) e v= (2, 0, 7), ou seja, w=αu+ βv ?????

Answer 1

Olá

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$\displaystyle \vec{w}=(-4,-2,-21) \\ \\ \vec{u}=(1,-1,0) \\ \\ \vec{v}=(2,0,7) \\ \\ \\ \\ \vec{w}= \alpha \vec{u}+ \beta \vec{v} \\ \\ \\ (-4,-2,-21)= \alpha (1,-1,0)~+~ \beta (2,0,7) \\ \\ \text{Aplica a distributiva do alpha no vetor u, e beta no vetor v } \\ \\ (-4,-2,-21)= (\alpha,-\alpha,0\alpha)~+~ (2\beta,0\beta,7\beta) \\ \\ \\ \text{Agora e so montar o sistema e encontrar o valor de alpha e beta}$

$\alpha ~+~2 \beta =-4 \\ - \alpha ~+~0 \beta =-2 \\ 0 \alpha +7 \beta =-21 \\ \\ \\ \text{Esta facil encontrar os valores de alpha e beta... Veja a segunda}\\\text{equacao, temos somente o alpha... e na terceira equacao, so o beta}\\\text{Pegando a segunda equacao para encontrar o valor de alpha} \\ \\ \\ - \alpha =-2~~~~~~~~~~~\cdot(-1)~~~~~ ~~~ ~\text{Multiplica por -1 para tirar o negativo} \\ \\ \boxed{\alpha =2} \\ \\ \\ \text{Pegando a terceira equacao para encontrar o valor de beta}$

$7 \beta =-21 \\ \\ \beta =- \frac{21}{7} \\ \\ \boxed{\beta =-3}$

$\text{Entao podemos escrever o vetor w como combinacao linear dos vetores}\\\text{u e v} \\ \\ \\ \boxed{\vec{w}= 2 \vec{u} -3 \vec{v}}~~~~~~\longleftarrow \text{Esta e a resposta final}$

Agora vamos comprovar...

$(-4,-2,-21)= 2 (1,-1,0)~-~ 3 (2,0,7) \\ \\ \text{Aplica as distributivas} \\ \\ \\ (-4,-2,-21)= (2,-2,0)~-~ (6,0,21) \\ \\ \text{Efetua a subtracao} \\ \\ \\ (-4,-2,-21)= (2-6,~-2-0,~0-21) \\ \\ \\\boxed{ (-4,-2,-21)= (-4,-2,-21)} \\ \\ \\ \text{Comprovado... O vetor w pode ser escrito como combinacao linea }\\\text{de u e v}$