Question

Dado um vetor não nulo (v≠0), encontre um vetor U que seja unitario com mesma direção e sentido. U deve ser da forma --> U=$\alpha$ . v com $\alpha$ >0 e devemos ter ||U||= ||$\alpha \alpha$ . v||=1

Answer 1

Dado um vetor $\overset{\to}{\mathbf{v}}\ne \overset{\to}{\mathbf{0}},$ encontrar um vetor unitário $\overset{\to}{\mathbf{u}}$  (isto é, com módulo igual a 1) com a mesma direção e sentido que $\overset{\to}{\mathbf{v}}.$

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}=\alpha\cdot \overset{\to}{\mathbf{v}}\qquad\quad\mathsf{com~~}\alpha>0$


Como $\overset{\to}{\mathbf{u}}$ é unitário, devemos ter

     $\|\overset{\to}{\mathbf{u}}\|=1\\\\ \|\alpha\cdot \overset{\to}{\mathbf{v}}\|=1\\\\ |\alpha|\cdot \|\overset{\to}{\mathbf{v}}\|=1\qquad(\mathsf{mas~}\alpha>0)\\\\ \alpha\cdot \|\overset{\to}{\mathbf{v}}\|=1$


Como $\overset{\to}{\mathbf{v}}$ é um vetor não nulo, segue que $\|\overset{\to}{\mathbf{v}}\|\ne 0.$ Então,

     $\alpha=\dfrac{1}{\|\overset{\to}{\mathbf{v}}\|}$        ✔


Dessa forma, o vetor unitário procurado é

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}=\alpha\cdot \overset{\to}{\mathbf{v}}$

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}=\dfrac{1}{\|\overset{\to}{\mathbf{v}}\|}\cdot \overset{\to}{\mathbf{v}}\quad\longleftarrow\quad \mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Esse vetor $\overset{\to}{\mathbf{u}}$ recebe um nome especial. Dizemos que $\overset{\to}{\mathbf{u}}$ é o versor de $\overset{\to}{\mathbf{v}},$ pois é o vetor que possui mesma direção e sentido que $\overset{\to}{\mathbf{v}},$ mas com módulo 1.

Na prática, para encontrar o versor de $\overset{\to}{\mathbf{v}},$ basta multiplicar o $\overset{\to}{\mathbf{v}}$ pelo inverso de seu módulo.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)