Question

Dado um triângulo retângulo que os catetos medem (2x²-12) e (x²-3), possuí área de 14cm². Determine o perímetro desse triângulo em cm.

Answer 1

Em um triângulo retângulo, podemos encontrar a área multiplicando os catetos e dividindo por 2:

Área:

$\frac{(2x^{2}-12).(x^{2}-3)}{2} = 14$

(2x²-12).(x²-3) = 28

$2x^{4} -6x^{2} -12x^{2} +36=28\\ 2x^{4} -18x^{2} +8=0\\ x^{4} -9x^{2} +4=0$

Vamos usar uma váriavel auxiliar:

x² = y

y²-9y+4 = 0

Δ= (-9)² - 4.1.4 = 81-16 = 65

$\frac{-(-9)+/-\sqrt{65}}{2.1} =\frac{9+/-\sqrt{65}}{2}$

Agora vamos transformar os resultados da variável auxiliar para a variável original:

$(\frac{9+\sqrt{65}}{2})^{2} =\frac{81+18\sqrt{65}+65}{4} =\frac{146+18\sqrt{65}}{4} =\frac{83+9\sqrt{65}}{2} \\ ou\\ (\frac{9-\sqrt{65}}{2})^{2} =\frac{81-18\sqrt{65}+65}{4} =\frac{146-18\sqrt{65}}{4} =\frac{83-9\sqrt{65}}{2}$

No final, para encontrar o ultimo lado, que é a hipotenusa, você usa Pitágoras.

$h^{2} =(\frac{83+9\sqrt{65}}{2})^{2} +(\frac{83-9\sqrt{65}}{2})^{2} \\ h^{2} =\frac{6889+1494\sqrt{65}+5265}{4}+\frac{6889-1494\sqrt{65}+5265}{4}\\ h^{2} =\frac{13778+10530}{4} =\frac{24308}{4} =6077\\ h=\sqrt{6077}=77,955115$

Agora é só somar os três valores:

$\frac{83+9\sqrt{65}}{2} +\frac{83-9\sqrt{65}}{2}+\sqrt{6077}=\\\frac{166}{2}+77,955115=\\83 +77,955115=\\ 160,955115$

Resposta: O perímetro é de aproximadamente 160,96cm