Question

Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno e do seno do menor ângulo interno desse triângulo.

Answer 1

O menor ângulo interno é o oposto ao menor lado, que mede 5 cm. Vamos chamá-lo de $\alpha$.

Como conhecemos os três lados, vamos usar a Fórmula de Heron para calcular a área do triângulo:

$S= \sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)$

Onde $p$ é o semiperímetro: $p= \frac{5+7+8}{2} = \frac{20}{2} =10$ $cm$

$S= \sqrt{10.(10-5).(10-7).(10-8) }=\sqrt{10.(5).(3).(2) }= \sqrt{300} =10 \sqrt{3}$ $cm^{2}$

A mesma área também pode ser calculada pela fórmula: $S= \frac{a.b.sen \alpha }{2}$, onde $\alpha$ é um ângulo entre dois lados $a$ e $b$ conhecidos. Logo:

$S= \frac{a.b.sen \alpha }{2} =\frac{7.8.sen \alpha }{2}=28.sen \alpha$ $cm^{2}$

Agora, igualamos os valores calculados da área do triângulo:

$28.sen \alpha=10 \sqrt{3}$

$sen \alpha= \frac{10 \sqrt{3}}{28} =\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Para encontrar o valor do cosseno, basta usar a relação trigonométrica: $sen^{2} \alpha + cos^{2} \alpha =1$

$cos^{2} \alpha =1-sen^{2} \alpha$

$cos \alpha = \sqrt{1-sen^{2} \alpha}$ ⇒ escolhemos apenas o valor positivo do cosseno, pois o ângulo $\alpha$ é agudo, que faz com que esteja no 1º quadrante do círculo trigonométrico. Isso é facilmente dedutível pois: $8^{2} < 5^{2} + 7^{2}$ ⇒ $64 < 25 + 49$ ⇒ $64<74$ ⇒ o triângulo é acutângulo, ou seja, todos os seus ângulos são agudos.

$cos \alpha = \sqrt{1-( \frac{5 \sqrt{3} }{14} )^{2}}$

$cos \alpha = \sqrt{1-\frac{75 }{196}}$

$cos \alpha = \sqrt{\frac{196-75 }{196}}$

$cos \alpha = \sqrt{\frac{121 }{196}}$

$cos \alpha =\frac{11 }{14}$

Answer 2

O nosso amigo Lamach já fez, mas pensei que tem uma forma de encontrar o cosseno mais facilmente. Basta usar a Lei dos Cossenos:

$5^{2}=8^{2}+7^{2}-2.8.7.cos\alpha$

$25=64+49-112.cos\alpha$

$25-113=-112.cos\alpha$

Agora temos que multiplicar os dois membros por $(-1)$

$88=112.cos\alpha$

$cos\alpha =\frac{88}{112}$

Simplificando por $8$:

$cos\alpha =\frac{11}{14}$

Para encontrar o Seno basta usar a relação trigonométrica:

$Sen^{2}\alpha +Cos^{2}\alpha =1$

$(\frac{11}{14} )+Cos^{2}\alpha =1$

$\frac{121}{196}+Cos^{2}\alpha  =1$

$Cos^{2}\alpha =1-\frac{121}{196}$

$Cos^{2}\alpha =\frac{75}{196}$

(Multipliquei 196 com 1 e subtraí de 121)

$Cos\alpha =\sqrt{\frac{75}{196} }$

$Cos\alpha =\frac{\sqrt{75} }{14}$

$Cos\alpha =\frac{5\sqrt{3} }{14}$

Enfim, espero tê-lo ajudado!