Question

Dado um triângulo com vértices (-4, 1), (-1, 4) e (4, 1), determine as equações das retas dos lados desse triângulo e determine se esse triângulo é um triângulo retângulo

Answer 1

Sabendo que os vértices deste triângulo correspondem a pontos do plano cartesiano, temos que os três vértices do triâgulo correspondem aos pontos A(-4,1); B(-1,4); C(4,1)

Assim, a partir destes pontos, podemos definir as equações reduzidas das retas dos lados deste triângulo, como sendo uma reta que passa por dois pontos. Logo, sabendo que a equação de uma reta qualquer é dada por:

y -yA = m · (x - xA)

Em que, m é o coeficiente angular da reta e é dado por:

m = tg $\alpha$ ou m = yB - yA / xB - xA

Assim, calculado os coeficientes angulares das três retas (AB, BC e AC), temos:

m(AB) = (4 - 1) / (-1 - (-4)) → m(AB) = 3 / (-1 + 4) → m(AB)= 3/3 → m(AB)= 1

m(BC) = (1 - 4) / (4 - (-1)) → m(AB) = - 3 / (4 + 1) → m(AB)= - 3/5

m(AC) = (1 - (-4)) / (4 - 1) → m(AC) = (1 + 4 / 3 → m(AC)= 5/3

Temos então as equações  reduzidas das retas dos lados deste triângulo, definidas como:

AB: y - yA = m · (x - xA) ou AB: y - yB = m · (x - xB)
Utilizando A, temos que:
 y - 1 = 1 · (x - (-4) → y - 1 = x + 4 → y = x + 4 + 1 →
y = x + 5

BC: y - yB = m · (x - xB) ou y - yC = m · (x - xC)
Utilizando B, temos que:
y - 4 = - 3/5 · (x - (-1)) → y - 4 = -3/5x - 3/5 → y = -3/5x (- 3/5 +4) → 
y = - 3/5x - 17/5

AC: y - yA = m · (x - xA) ou y - yC = m · (x - xC) 
Utilizando C, temos que:
y - 1 = 5/3 · (x - 4) → y -1 = 5/3x - 20/3 → y = 5/3x (- 20/3 +1) →
y = 5/3x - 23/3

Para definir se o triângulo é retângulo precisamos verificar se duas retas concorrentes (coeficientes angulares diferentes) são perpendiculares (formam 90º entre si).  Portanto, para que essas retas sejam perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares tem que ser igual a = - 1

Portanto, através da definição verificamos se as retas AB e BC ou AB e AC ou AC e BC são perpendiculares, assim temos:

AB e BC: mAB · mBC = -1 →  1 · - 3/5 ≠ 1 (não são perpendiculares)
AB e AC: mAB · mAC = -1 →  1 · 5/3 ≠ 1 (não são perpendiculares)
AC e BC: mAC · mBC = -1 →  5/3 · -3/5 = -1  (São Perpendiculares) *

Portanto, o triângulo é retângulo pois as retas AC e BC são perpendiculares.