Question

Dado um triangulo ABC, A(-1,0), B(2,9/4) e C(5,0) determinar a equação da circunferência inscrita no triângulo.

Answer 1

Hallemos dos rectas bisectrices de los ángulos A y B

Sean
$\vec v=AB = B-A = (3,9/4)\\ \\ \vec w=AC=C-A=(6,0)$

Hallemos sus vectores unitarios
$\displaystyle \vec u_v=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}\\ \\ \boxed{\vec u_v=\frac{1}{5}(4,3)}$

$\displaystyle \vec u_w=\frac{\vec w}{\|\vec w\|}\\ \\ \boxed{\vec u_w=(1,0)}$

Sumemos
$\displaystyle \vec z_A=\vec u_v+\vec u_w=\frac{1}{5}(4,3)+(1,0)\\ \\ \boxed{\vec z_A=\frac{3}{5}(3,1)}$

Entonces la bisectriz que pasa por A es
$L_A: (x,y)=(-1,0)+(3,1)t\\ \\ \boxed{L_A: x-3y=-1}$
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Sean
$\vec p=BA = A - B =(-3,-9/4)\\ \\ \vec q=BC=C-B = (3,-9/4)$

Puesto que los vectores $\vec p$ y $\vec q$ son simétricos al eje X, entonces la bisectriz que pasa por B es

$\boxed{L_B:x=2}$
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Hallemos el punto de corte de las bisectrices $L_A$ y $L_B$

                                                $I=(2,1)$

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Hallemos la distancia del punto I a la recta que pasa por AC
                                           $L_{AC}: y=0$

$\boxed{R=1}$

Por lo tanto la ecuación de la circunferencia es

                            $\boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=1}$