Question

Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.

Answer 1

Olá

A = (2, 1, -1)
B = (3, 0, 1)
C = (2, -1, 3)
D = (0,y, 0)                    <- O enunciado diz que há vértice apenas no eixo y


Criando os 3 vetores

$\vec{AB}=B-A\\\vec{AB}=(2,1,-1)-(3,0,1)\\\\\boxed{\vec{AB}=(1,-1,2)}\\\\\\\vec{AC}=C-A\\AC=(2,1,-1)-(2,-1,3)\\\\\boxed{\vec{AC}=(0,-2,4)}\\\\\\\vec{AD}=D-A\\\vec{AD}=(2,1,-1)-(0,y,0)\\\\\boxed{\vec{AC}=(-2,y-1,1)}$

Calcula o produto misto entre esses 3 vetores e igualar a 5 (Já que esse é o volume que ele dever ter, conforme dito no enunciado).

$|(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})|~=~ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\0&-2&4\\-2&~y-1~&1\end{array}\right] =5\\\\\\\mathsf{\underbrace{(\mathsf{-2+8+0})}_{diag.~principal}~~~-\underbrace{(\mathsf{0+4y-4+8})}_{diag.~secund\'aria}}~=~5\\\\\\\mathsf{6-4y-4=5}\\\\\mathsf{-4y+2=5}$


O que temos no primeiro membro (-4y+2) é o valor do volume do paralelepípedo , e o que temos no segundo termo (5) é o volume do tetraedro;
Sabe-se que o volume do tetraedro pode ser obtido pela a seguinte fórmula

$\mathsf{V_{tetraedro}= \frac{1}{6}|V_{paralelepipedo}| }$

Vamos aplicar então essa fórmula

$\displaystyle\mathsf{|-4y+2|=5}\\\\ \mathsf{\frac{1}{6}\cdot|-4y+2|=5}\\\\\mathsf{|-4y+2|=5\cdot6}~~~ ~~ ~\longleftarrow \text{Passei o 6 para o outro lado multiplicando}\\\\\mathsf{|-4y+2|=30}$

Veja que temos uma equação modular, isso implica que teremos dois valores para 'y'.

Fazendo para y positivo

$\displaystyle\mathsf{|-4y+2|=30}\\\\\mathsf{-4y+2=30}\\\\\mathsf{-4y=30-2}\\\\\mathsf{-4y=28}\\\\\mathsf{y= \frac{28}{-4} }\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{y=-7}}}$


Agora para o y negativo

$\displaystyle\mathsf{-|-4y+2|=30}\\\\\mathsf{4y-2=30}\\\\\mathsf{4y=30+2}\\\\\mathsf{4y=32}\\\\\mathsf{y= \frac{32}{4} }\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{y=8}}}$


Então o vértice D será

$\boxed{\mathsf{D=(0,-7,0)}}\\\\~~~ ~~ ~~~ ~\mathsf{ou}~\\\\\boxed{\mathsf{D=(0,8,0)}}$