Question

Dado um segmento de reta AB contido no plano, considere C a reta perpendicular a AB, levantada a partir do seu ponto médio (C é, pois, um conjunto de pontos do plano), e D o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de A e B. Demonstre que C = D.​

Answer 1

Ver a demonstração abaixo.

$\dotfill$

Por absurdo, considere que o conjunto C não seja igual ao conjunto D. Dado isso, existe pelo menos um ponto em C que não está contido em D. Chamemos tal ponto de P e o ponto médio de AB de M.

Como P está contido em C, o triângulo AMC é retângulo com ângulo reto em M. Por outro lado, BMC também é retângulo e, pelo caso lado-ângulo-lado (LAL), congruente ao triângulo AMC. Assim, AP = BP e, com isso, P está contido em D, o que é um absurdo.

Como a contrapositiva é falsa, logo a positiva é verdadeira. Assim, C = D.

Até mais!