Question

Dado um polinômio P(x) e sabendo que P(x) é do terceiro grau, possui raizes -2,1 e 4 e que P(5) 56, determine P(x).


Dado um polinômio P(x) e sabendo que P(x) é do terceiro grau, possui raízes -1.1 e 3 e que P(0) 2, determine P(x).

Por favor me ajudem com esses dois exercícios

Answer 1

Utilizando a forma fatorada de um polinomio qualquer, temos que nossos polinomios são:

A) $y=2x^3-6x^2-12x+16$.

B) $y=\frac{2}{3}x^3-2x^2-\frac{2}{3}x+2$.

Explicação:

Vamso resolver um por um:

A) Dado um polinômio P(x) e sabendo que P(x) é do terceiro grau, possui raizes -2,1 e 4 e que P(5) 56, determine P(x).

Todo polinomio pode ser escrito da forma reduzida como:

$y=a.(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Onde "a" é uma constante e x1, x2 e x3 são suas raízes. Neste caso já temos as raízes, então:

$y=a.(x+2)(x-1)(x-4)$

E como sabemos que que quando substituimos x por 5, temos que y é 56, pois P(5)=56, então temos que:

$56=a.(5+2)(5-1)(5-4)$

$56=a.7.4$

$56=28a$

$a=\frac{56}{28}$

$a=2$

Assim nosso polinomio fica:

$y=2.(x+2)(x-1)(x-4)$

Agora basta multiplicarmos distributivamente para abrirmos ele:

$y=2x^3-6x^2-12x+16$

E este é nosso polinomio.

B) Dado um polinômio P(x) e sabendo que P(x) é do terceiro grau, possui raízes -1.1 e 3 e que P(0) 2, determine P(x).

Vamos fazer agora o mesmo processo:

Todo polinomio pode ser escrito da forma reduzida como:

$y=a.(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Onde "a" é uma constante e x1, x2 e x3 são suas raízes. Neste caso já temos as raízes, então:

$y=a.(x+1)(x-1)(x-3)$

E como sabemos que que quando substituimos x por 0, temos que y é 2, pois P(0)=2, então temos que:

$2=a.(0+1)(0-1)(0-3)$

$2=a.3$

$a=\frac{2}{3}$

Assim nosso polinomio fica:

$y=\frac{2}{3}.(x+1)(x-1)(x-3)$

Agora basta multiplicarmos distributivamente para abrirmos ele:

$y=\frac{2}{3}x^3-2x^2-\frac{2}{3}x+2$

E este é nosso polinomio.