Dado um plano α de equação x + 2y – 3z + 10 = 0, e uma reta r perpendicular ao plano α, e que passa por um ponto A = (3, 2, 1) do espaço, determine:
a) A equação vetorial paramétrica da reta r.
b) O ponto P de intersecção da reta r com o plano α.
c) Determine o ponto I de intersecção do plano com o eixo dos Y.
Soluções para a tarefa
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Olá,
A única forma que cheguei ao resultado, foi usando conceitos de derivada, mostrarei aqui como fiz:
A) Primeiramente parametrizamos o plano, e calculamos seus vetores derivada em relação a X e a Y, encontraremos Vx=(1,0,1/3) e Vy=(0,1,2/3). Para encontrar um vetor perpendicular, basta fazer o produto vetorial destes dois vetores derivadas. Teremos como resultado o vetor (-1/3, -2/3, 1 ). Achado o vetor , basta parametrizar uma reta perpendicular a este vetor e que passe pelo ponto A(3,2,1), usando a ideia de reta paralela a um vetor, acharemos a reta (-t/3 + 3, -2t/3 +2, t+1). Lembrando que as parametrizações podem variar.
B) Para achar esse ponto, substituiremos na coordenada que está em função das outras na equação parametrizada do plano, as respectivas coordenada da nossa reta parametrizada, e igualaremos a mesma coordenada na nossa reta parametrizada. No meu caso, substitui X e Y da minha reta parametrizada, na coordenada Z da equação paramétrica do plano, e igualei a coordenada Z da minha reta parametriza. e encontrei o valor de T=3. Substituindo na equação da reta parametrizada, encontraremos o ponto (2,0,4).
C) Basta pegar a equação do plano, e substituir X e Z por 0, assim teremos onde corta o eixo Y, vejamos: 0+2y+0+10=0, resolvendo y=-5.
Espero realmente ter ajudado.
A única forma que cheguei ao resultado, foi usando conceitos de derivada, mostrarei aqui como fiz:
A) Primeiramente parametrizamos o plano, e calculamos seus vetores derivada em relação a X e a Y, encontraremos Vx=(1,0,1/3) e Vy=(0,1,2/3). Para encontrar um vetor perpendicular, basta fazer o produto vetorial destes dois vetores derivadas. Teremos como resultado o vetor (-1/3, -2/3, 1 ). Achado o vetor , basta parametrizar uma reta perpendicular a este vetor e que passe pelo ponto A(3,2,1), usando a ideia de reta paralela a um vetor, acharemos a reta (-t/3 + 3, -2t/3 +2, t+1). Lembrando que as parametrizações podem variar.
B) Para achar esse ponto, substituiremos na coordenada que está em função das outras na equação parametrizada do plano, as respectivas coordenada da nossa reta parametrizada, e igualaremos a mesma coordenada na nossa reta parametrizada. No meu caso, substitui X e Y da minha reta parametrizada, na coordenada Z da equação paramétrica do plano, e igualei a coordenada Z da minha reta parametriza. e encontrei o valor de T=3. Substituindo na equação da reta parametrizada, encontraremos o ponto (2,0,4).
C) Basta pegar a equação do plano, e substituir X e Z por 0, assim teremos onde corta o eixo Y, vejamos: 0+2y+0+10=0, resolvendo y=-5.
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