Question

Dado um número inteiro positivo x, escreva a lei para uma função de x que forneça a quantidade de dígitos que formam esse número.

Explicar passo a passo a lógica de construção da resposta.

Dica: Caso ache necessário, use a função piso (função maior inteiro):

$\mathsf{\lfloor k \rfloor}$ (piso de k) fornece a parte inteira do número real k, isto é, o maior inteiro menor ou igual que k.

Answer 1

Um número natural x de n dígitos estará sempre no intervalo $[10^{n-1};10^{n}[$.

Ou seja:

$10^{n-1}\leq\ x \ \textless \ 10^n$
$log_{10}10^{n-1}\leq log_{10}x\ \textless \ log_{10}10^n$
$n-1\leq\ log_{10}x\ \textless \ n$

Como n é um número inteiro, $log_{10}x$ está, portanto, no intervalo correspondido entre os inteiros n-1 e n.

Como não há nenhum outro inteiro nesse intervalo além de n-1, então a função piso desse logaritmo resultante equivalerá a esse número n-1.

$n-1= \lfloor log_{10}x \rfloor$
$n= \lfloor log_{10}x \rfloor+1$

Para incluirmos os números negativos, basta apenas adicionar o sinal de módulo |x| para que o cálculo possa abranger todos os números inteiros (Com exceção ao 0).

Portanto a função final é:

$n= \lfloor log_{10}|x| \rfloor +1$                  Para $(x\in \mathbb Z^*})$

Espero ter ajudado. =)