Question

dado um movimento cuja função horária é S = 35 - 6t + 4t ^ 2 , sendo que S é o espaço em centímetros e té o tempo em segundos. Determine:a) espaço inicial; } b) a velocidade escalar inicial;" c) a aceleração escalar: d) a distância percorrida em 5 segundo

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Answer 1

Resposta:

Dada a seguinte função horária da posição de uma partícula:

$S(t) = 35 - 6t + 4t^2,$

com $S$ em centímetros e $t$ em segundos, calculemos o que se pede:

a) A posição inicial.

$S(0) = 35 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{S(0) = 35\,\,cm.}$

b) A velocidade escalar inicial.

$v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt} \left(35 - 6t + 4t^2 \right)\\\\\Longleftrightarrow v = -6 + 8t\\\\\Longrightarrow v(0) = -6 + 8 \cdot 0\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v(0) = -6\,\,cm/s.}$

c) A aceleração escalar.

$a = \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2} \left(35 - 6t + 4t^2 \right)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{a = 8\,\,cm/s^2.}$

d) A distância percorrida entre t = 0 e t = 5 s.

Perceba, por meio da função horária da velocidade, que o movimento é retrógrado no intervalo $0 \leq t < \frac{3}{4}\,\,s$ e é progressivo no intervalo $t > \frac{3}{4}\,\,s.$

Calculemos a distância percorrida no movimento retrógrado:

$S(0) - S\left(\frac{3}{4}\right)\\\\= 35 - \left(35 - 6 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \right)\\\\= 35 - 32,75\\\\=2,25\,\,cm.$

Calculemos agora a distância percorrida no movimento progressivo:

$S(5) - S \left(\frac{3}{4} \right)\\\\= \left(35 - 6 \cdot 5 + 4 \cdot 5^2 \right) - 32,75\\\\= 105 - 32,75\\\\= 72,25\,\,cm.$

Portanto, a distância total percorrida, entre t = 0 e t = 5 s, é:

$d = 2,25 + 72,25\\\\\Longleftrightarrow \boxed{d = 74,5\,\,cm.}$

Perceba que distância percorrida ≠ deslocamento. O deslocamento é o vetor que liga a posição inicial à posição final. Se quisermos calcular o módulo do deslocamento, nesse mesmo intervalo, devemos fazer:

$\Delta S = S(5) - S(0)\\\\\Longleftrightarrow \Delta S = 105 - 35\\\\\Longleftrightarrow \Delta S = 70 \,\,cm.$