Question

Dado um conjunto A, chama-se subconjunto triviais de A: o próprio A e o conjunto vazio. Todos os demais são chamados de subconjuntos próprios. Se o conjunto A tem 254 subconjuntos próprios, determine n(A).

Answer 1

Dado um conjunto, podemos encontrar quantos subconjuntos esse possui:

$2^{n}$

Onde n é o número de elementos do conjunto.
Exemplo:

Conjunto D: {1, 3, 7}
Subconjuntos de D: ∅, {1}, {3}, {7}, {1, 3}, {1, 7}, {3, 7}, {1, 3, 7}
Número de elementos: 3
Número de subconjuntos: $2^{3} =8$

A tem 254 subconjuntos próprios, o próprio A e o conjunto vazio, somando o total de 256 subconjuntos:

$2^{n} = 256 \Longrightarrow 2^{n} = 2^{8} \Longrightarrow n = 8$

Portanto n(A) = 8.

Answer 2

O conjunto A possuí 8 elementos.

Como determinar a quantidade de subconjuntos?

Para calcular quantidade subconjuntos que podem ser formados a partir dos elementos de um conjunto A devemos usar a seguinte fórmula:

2ⁿ

Sendo n é a quantidade de elementos do conjunto A.

Por exemplo: C = {t, 2, 4, 5, 6, 7}

O conjunto C possuí 7 elementos, logo, substituir o n por 7:

2⁷ = 128

Desse modo, é possível formar 128 subconjuntos a partir dos elementos de C.

No exercício é informado que a quantidade de subconjuntos do conjunto A sendo igual a 254 somado a um conjunto vazio e o próprio A resultando em 256.

Para determinar a quantidade de elementos de A., devemos fatorar 256 em fatores iguais a 2:

256|2

128 | 2

64  | 2

32 | 2

16  | 2

8   | 2

4   | 2

2   | 2

1

Desse modo, concluímos que 2⁸ = 256, ou seja, n = 8.

Concluímos que o conjunto A possuí 8 elementos.

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