Question

dado um cilindro reto de raio r e altura h sua área da superfície total s e a soma da area da superficie lateral com a area da tampa e da base ou seja ,s=2pi.r.h+2.pi.r².ja o seu volume v e dado com o produto da base com a altura isto é V=pi.r².h considere uma lata fechada com a forma de um cilindro circular reto.Se o volume é da lata e de 54 pi cm³.determine o valor da altura h e odo raio r para que seja usado a menor quantidade de material em sua fabricação

Answer 1

Utilizando derivadas e pontos críticos, temos que para o volume ser maximo com superficie minima, temos que o raio vale 2,05 cm e a altura 4,10 cm.

Explicação passo-a-passo:

O volume de um cilindro é então dado por:

$V=\pi.r^2.h$

E já sabemos o volume:

$\pi.r^2.h=54$

Isolando o h:

$\pi.r^2.h=54$

$h=\frac{54}{\pi.r^2}$

Agora vamos a áre de superficie:

$S=2\pi.r^2+2\pi.r.h$

E neste formula de superficie vamos substituir h, pela equação que isolamos acima:

$S=2\pi.r^2+2\pi.r.h$

$S=2\pi.r^2+2\pi.r.\frac{54}{\pi.r^2}$

$S=2\pi.r^2+\frac{108}{r}$

Agora temos uma função da superficie que só depende do raio, então vamos derivar e igualar a 0 para encontrar os maximos e mínimos:

$S=2\pi.r^2+\frac{108}{r}$

$S'=4\pi.r-\frac{108}{r^2}$

Igualando a 0:

$0=4\pi.r-\frac{108}{r^2}$

$4\pi.r=\frac{108}{r^2}$

$4\pi.r^3=108$

$r^3=\frac{108}{4\pi}$

$r^3=\frac{27}{\pi}$

$r=\sqrt[3]{\frac{27}{\pi}}$

$r=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}=2,05$

Agora que sabemos o raio, podemos encontrar a altura:

$h=\frac{54}{\pi.r^2}$

$h=\frac{54}{\pi.(\frac{3}{\sqrt[3]{\pi}})^2}$

$h=\frac{54}{9\sqrt[3]{\pi}}$

$h=\frac{6}{\sqrt[3]{\pi}}=4,1$

Assim temos que para o volume ser maximo com superficie minima, temos que o raio vale 2,05 cm e a altura 4,10 cm.