Question

Dado um cilindro circular reto de raio r e altura h , sua area de superficie total s é a soma da area da base com altura, isto é v=πr²h. Considere uma lata fechada com form de um cilindro circular reto. Se o volume da lata é de 54 π cm ³, determine o valor da altura h e do raio r para que seja usado a menor quantidade de material em sua fabricação

Answer 1

Utilizando multiplicadores de Lagrange, temos que o raio vale 3 cm, logo a altura vale 6 cm.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de multiplicadores de Lagrange, onde existe uma função f que queremos maximizar ou minimizar, e uma função g sendo a condição.

Este metodo nos diz que:

$\nabla f(x^i)=lambda.\nabla g(x^i)$

E então vamos encontrar as funções do nosso problema.

A função f do nosso problema, que queremos minimizar é a função área, para minimizar os custos:

$A(r,h)=2\pi.r^2+2\pi.r.h$   (área do cilindro).

E a nossa função condição é o volume:

$V(r,h)=\pi.r^2.h=V_0$   (volume do cilindro).

Onde Vo é um valor constante.

Então fazendo as derivadas:

$\frac{dA}{dr}=\lambda.\frac{dV}{dr}$

$\frac{dA}{dh}=\lambda.\frac{dV}{dh}$

Temos:

$(4\pi.r+2\pi.h)=\lambda.(2\pi.r.h)$

$(2\pi.r)=\lambda.(\pi.r^2)$

Agora temos estas duas equações e para simplificar vamos dividir a de cima pela de baixo:

$\frac{4\pi.r+2\pi.h}{2\pi.r}=\frac{\lambda.(2\pi.r.h)}{\lambda(\pi.r^2)}$

$2+\frac{h}{r}=\frac{2h}{r}$

$2=\frac{2h}{r}-\frac{h}{r}$

$2=\frac{h}{r}$

$h=2r$

Então temos a nossa condição, para esta área ser minima, precisamos que a altura seja duas vezes o raio.

Agora basta substituir esta altura no volume e poderemos descobrir seus valores:

$V(r,h)=\pi.r^2.h=V_0$

$V(r,h)=\pi.r^2.2r=54\pi$

$2\pi.r^3=54\pi$

$r^3=27$

$r=3$

Assim temos que o raio vale 3 cm, logo a altura vale 6 cm.