Question

dado tg x = 5/3 com 0<x<$\pi /2$ calcule sen x

Answer 1

Gabi,
Veja as relações necessárias

           No triangulo retangulo, para o angulo α
                       cateto oposto = co
                       cateto adjacente = ca
                       hipotenusa = h
                  sen α = co/h
                  tag α = (co)/(ca)

           No caso em estudo
                 tag x = 5/3
                                   co = 5
                                   ca = 3
                         Aplicando Teorema de Pitagoras
                                   h² = 5² + 3²
                                      = 25 + 9
                                      = 34
                                   h = √34
               sen α = 5/√34
                        = (5√34)/(√34)² (racionalizão)
               sen α = (5√34)/34 
                                                           0 < x < π/2
                                                       x no I quadrante, seno positivo

                   sen x = (5√34)/34  RESULTADO FINAL
                            

Answer 2

 Outra...

$\tan\,x=\frac{5}{3}\\\\\frac{\sin\,x}{\cos\,x}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow\left(\frac{\sin\,x}{\cos\,x}\right)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2\\\\\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{25}{9}\\\\\cos^2x=\frac{9\cdot\sin^2x}{25}$ 
 
 Sabe-se que $\sin^2x+\cos^2x=1$, então:

$\sin^2x+cos^2x=1\\\\\sin^2x+\frac{9\cdot\sin^2x}{25}=1\\\\25\cdot\sin^2x+9\cdot\sin^2x=25\\\\34\cdot\sin^2x=25\\\\\sin^2x=\frac{25}{34}\\\\\sin\,x=\pm\sqrt{\frac{25}{34}}$
 
 Uma vez que $0<x<\frac{\pi}{2}$, temos que $\sin\,x=+\sqrt{\frac{25}{34}}$.