Question

Dado tg x/2 = 1/2 então sen x - cos x é igual a?

Answer 1

Sabemos que tg = sen/cos,logo:

tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2)
1/2 = sen(x/2) / cos(x/2)
sen(x/2) = cos(x/2) / 2


Agora vamos calcular senx e cosx pela regra da soma de ângulos,afinal senx = sen(x/2 + x/2),e o mesmo vale para cosx:

sen(a+b) = sena.cosb+senb.cosa
sen(x/2 + x/2) = sen(x/2).cos(x/2)+sen(x/2)+cos(x/2)
senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)

cos(a+b) = cosa.cosb-sena.senb
cos(x/2 + x/2) = cos(x/2).cos(x/2)-sen(x/2).sen(x/2)
cosx = cos²(x/2)-sen²(x/2)


Então:

senx-cosx = 2.sen(x/2).cos(x/2) - [cos²(x/2)-sen²(x/2)]
senx-cosx = 2.sen(x/2).cos(x/2) - cos²(x/2) + sen²(x/2)

Temos da primeira equação que sen(x/2) = cos(x/2) / 2,portanto:

senx-cosx = 2.cos(x/2) / 2  .cos(x/2) - cos²(x/2) + cos²(x/2) / 4
senx-cosx = cos²(x/2) - cos²(x/2) + cos²(x/2) / 4
senx-cosx = cos²(x/2) / 4


Utilizando que sec²=1+tg²,sendo sec²=1/cos²:

1/cos²(x/2) = 1 + tg²(x/2)
1/cos²(x/2) = 1 + (1/2)²
1/cos²(x/2) = 1 + 1/4
1/cos²(x/2) = 5/4
cos²(x/2) = 4/5


Substituamos na equação que queremos:
senx-cosx = cos²(x/2) / 4
senx-cosx = 4/5 / 4
senx-cosx = 1/5