Question

Dado $x^{2} + \frac{1 }{ x^{2} } = 6$, calcule $x + \frac{1}{x}$

Poderiam me ajudar ?
Como faço pra chegar no resultado? Desde já, agradeço :)

Answer 1

Seja $\mathsf{y=x+\dfrac{1}{x}}.$

Elevando os dois lados ao quadrado, temos que

$\mathsf{y^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{\!\!2}}$

Expanda o quadrado da soma no lado direito:

$\mathsf{y^2=x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{y^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}}\\\\\\ \mathsf{y^2=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+2}$

Mas temos que

$\mathsf{ x^2+\dfrac{1}{x^2}=6}.$

Então, ficamos com

$\mathsf{y^2=6+2}\\\\ \mathsf{y^2=8}\\\\ \mathsf{y=\pm\, \sqrt{8}}\\\\ \mathsf{y=\pm\, 2\sqrt{2}}$

Sendo assim, chegamos a

$\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=\pm\,2\sqrt{2}}$

$\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=-\,2\sqrt{2}\;\;\;ou\;\;\;x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}}$ <----- esta é a resposta.

Bons estudos! :-)