Question

Dado $x^2+\dfrac{1}{x^2}=6$, CALCULE $x+\dfrac{1}{x}$.

Resposta do gabarito: $+-2\sqrt2$

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, o primeiro passo é isolar um valor para x na primeira equação.

 

Como no denominador há uma incógnita e precisamos fazer a soma, multiplico o x² por x² / x², para que sejam igualados os denominadores. Desenvolvendo, teremos:

 

$\mathsf{x^2+\dfrac{1}{x^2}=6}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^2}{x^2}\cdot x^2+\dfrac{1}{x^2}=6}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^4}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=6}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^4+1}{x^2}=6}\\\\\\ \mathsf{x^4+1=6\cdot x^2}\\\\ \mathsf{x^4+1=6x^2}\\\\ \mathsf{x^4-6x^2+1=0}$

 

Conseguimos uma equação biquadrada (com x⁴ e x²) como resultado. Para desenvolver essa equação, uso $\mathsf{y=x^2}$. Teremos:

 

$\mathsf{x^4-6x^2+1=0}\\\\ \mathsf{\left(x^2\right)^2-6\left(x^2\right)+1=0}\\\\ \mathsf{y^2-6y+1=0}$

 

Agora, temos uma equação de segundo grau, logo, devemos tratar como tal. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4(1)(1)}}{2(1)}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{32}}{2}}$

 

O 32 em sua forma fatorada é 2⁵. Substituindo na raiz, teremos:

 

$\mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{32}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{2^5}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{2^4\cdot2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{6\pm2^2\sqrt{2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{6\pm4\sqrt{2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=3\pm2\sqrt{2}}\\\\\\ \therefore~\begin{cases} \mathsf{y=3+2\sqrt2}\\\\ \mathsf{y=3-2\sqrt2} \end{cases}$

 

Mais acima usei $\mathsf{y=x^2}$. Substituindo o valor de y nessa forma, teremos as raízes de x. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{y=x^2}\\\\ \mathsf{x^2=y}\\\\ \mathsf{x=\pm\sqrt{y}}\\\\\\ \mathsf{x'=\pm\sqrt{3+2\sqrt2}}\\\\\mathsf{x''=\pm\sqrt{3-2\sqrt2}}$

 

Em ambos os casos de x, devemos usar produtos notáveis. Desenvolvendo, teremos:

 

$\mathsf{x'=\pm\sqrt{3+2\sqrt2}}\\\\\mathsf{x'=\pm\sqrt{1+2\sqrt2+2}}\\\\ \mathsf{x'=\pm\sqrt{\left(1+\sqrt2\right)^2}}\\\\ \mathsf{x'=\pm\left(1+\sqrt2\right)} \\\\\\ \mathsf{x''=\pm\sqrt{3-2\sqrt2}}\\\\\mathsf{x''=\pm\sqrt{1-2\sqrt2+2}}\\\\ \mathsf{x''=\pm\sqrt{\left(1-\sqrt2\right)^2}}\\\\ \mathsf{x''=\pm\left(1-\sqrt2\right)}$

 

Com isso, podemos definir todas as raízes possíveis para a equação biquadrática. Teremos:

 

$\begin{cases} \mathsf{x'=}&\mathsf{\pm\left(1-\sqrt2\right)}\\ \mathsf{x''=}&\mathsf{\pm\left(1+\sqrt2\right)} \end{cases}~\therefore~\begin{cases} \mathsf{x_1=}&\mathsf{-1+\sqrt2}\\ \mathsf{x_2=}&\mathsf{1-\sqrt2}\\ \mathsf{x_3=}&\mathsf{1+\sqrt2}\\ \mathsf{x_4=}&\mathsf{-1-\sqrt2} \end{cases}$

 

$\textsf{---------------------------------------------}$

 

Agora, podemos resolver a outra expressão, $\mathsf{x+\dfrac{1}{x}}$.

 

Para desenvolver essa expressão, o primeiro passo que adotarei é montar apenas uma fração. Para isso, uso o mesmo modo que usei na primeira. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{x}\cdot x+\dfrac{1}{x}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^2+1}{x}}$

 

Agora, devemos substituir os valores de x pelos 4 que obtemos no início e desenvolver. No decorrer dos cálculos, produtos notáveis serão usados, assim como serão feitas “racionalizações dos denominadores” (ou seja, retirada das raízes dos denominadores).

 

$\begin{array}{lcl} \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(-1+\sqrt2\right)^2+1}{-1+\sqrt2}}\\\\\\ \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(\sqrt2-1\right)^2+1}{-1+\sqrt2}}\\\\\\ \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(2-2\sqrt2+1\right)+1}{-1+\sqrt2}}\\\\\\ \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4-2\sqrt2}{-1+\sqrt2}\cdot\dfrac{-1-\sqrt2}{-1-\sqrt2}}\\\\\\ \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-4+2\sqrt2-4\sqrt2+2\sqrt{2^2}}{1-\sqrt2+\sqrt2-\sqrt{2^2}}}\\\\\\ \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-4-2\sqrt2+4}{1-2}}\\\\\\ \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-2\sqrt2}{-1}=2\sqrt2} \end{array}$

 

_____

 

No caso, o valor de x₂ é igual ao de x₁ quando multiplicado por -1. Como deveremos fazer a racionalização do denominador, os valores serão igualados e retornará o mesmo resultado do caso anterior.

 

_____

 

$\begin{array}{lcl} \mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(1+\sqrt2\right)^2+1}{1+\sqrt2}}\\\\\\ \mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(1+2\sqrt2+2\right)+1}{1+\sqrt2}}\\\\\\ \mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4+2\sqrt2}{1+\sqrt2}\cdot\dfrac{1-\sqrt2}{1-\sqrt2}}\\\\\\ \mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4+2\sqrt2-4\sqrt2-2\sqrt{2^2}}{1+\sqrt2-\sqrt2-\sqrt{2^2}}}\\\\\\ \mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4-2\sqrt2-4}{1-2}}\\\\\\ \mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-2\sqrt2}{-1}=2\sqrt2} \end{array}$

 

_____

 

Esse caso é o mesmo do x₂. O resultado será o mesmo que foi obtido para x₃.

 

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que os resultados possíveis são $\mathsf{\pm2\sqrt{2}}$.

 

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$