Question

Dado sen x = 1/3, com 0 < x < $\frac{ \pi }{2}$, calcule sen ($\frac{ \pi}{6} - x$)

Answer 1

Fórmula do seno da diferença entre dois arcos:

$\mathrm{sen}(a-b)=\mathrm{sen\,}a \cos b -\mathrm{sen\,}b \cos a$


$\bullet\;\;$ Encontrando o cosseno de $x$.

Utilizando a Relação Trigonométrica Fundamental, temos

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \cos^{2}x=1-\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \cos^{2}x=1-\left(\dfrac{1}{3} \right )^{2}\\ \\ \cos^{2}x=1-\dfrac{1}{9}\\ \\ \cos^{2}x=\dfrac{9-1}{9}\\ \\ \cos^{2}x=\dfrac{8}{9}\\ \\ \cos x = \pm \sqrt{\dfrac{8}{9}}\\ \\ \cos x = \pm \dfrac{\sqrt{8}}{3}\\ \\ \cos x = \pm \dfrac{\sqrt{2^{2}\cdot 2}}{3}\\ \\ \cos x = \pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$


Como $x$ é um arco do primeiro quadrante, o seu cosseno é positivo. Logo,

$\cos x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$


$\bullet\;\;$ Calcular $\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}-x \right )$

Utilizando a fórmula do seno da diferença entre dois arcos

fazendo $a=\dfrac{\pi}{6}\;\;\text{ e }\;\;b=x$

temos

$\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}-x \right )=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\cos x-\mathrm{sen\,}x \cos \dfrac{\pi}{6}\\ \\ \mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}-x \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}-x \right )=\dfrac{2\sqrt{2}}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\\ \\ \\ \boxed{\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}-x \right )=\dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}}$