Question

dado sen α = cos(90°-α), 0  ≤ α  ≤ 90°, calcule: sen²1° + sen²2° + ... + sen²88° + sen²89

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anazilda, que a resolução é simples.
Pede-se o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = sen²(1º) + sen²(2º) + sen²(3º) + ..... + sen²(87º) + sen²(88º) + sen²(89º)

Agora note isto e não esqueça mais: se sen(α) = cos(90º-α) isso significa que as funções seno e cosseno são complementares, ou seja:

sen²(89º) = cos²(90º-89º) = cos²(1º)
sen²(88º) = cos²(90º-88º) = cos²(2º)
sen²(87º) = cos²(90º-87º) = cos²(3º)
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E assim vai até sen²(46º) = cos²(90º-46º) = cos²(44º)

Note que, pelo fato de a soma ir apenas até sen²(89º), então o sen²(45º) ficará sem o cosseno correspondente do mesmo grau (45º). Assim, ficaremos com:

y = sen²(1º) + sen²(2º) + sen²(3º) + ........ + cos²(3º) + cos²(2º) + cos²(1º) ---- agrupando os senos e os cossenos de mesmo grau, teremos:

y = sen²(1º) + cos²(1º) + sen²(2º) + cos²(2º) + sen²(3º) + cos²(3º) + .....+ sen²(44º) + cos²(44º) + sen²(45º)

Como você já sabe que: sen²(x) + cos²(x) = 1, então ficaremos com:

y = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ..... (44 vezes, pois vai até o sen²(44)+cos²(44))) + sen²(45º) --- ou, o que é a mesma coisa:

y = 44*1 + sen²(45º)
y = 44 + sen²(45º) ----- como sen(45º) = √(2) / 2 , teremos:
y = 44 + [√(2) / 2]² ------ desenvolvendo o quadrado, teremos:
y = 44 + 2 / 4 ----- mmc = 4 . Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

y = (4*44 + 1*2)/4
y = (176 + 2)/4
y = (178)/4 --- ou apenas:
y = 178/4 ---- note que esta divisão dá exatamente 44,5 . Assim:
y = 44,5  <--- Esta é a resposta. Este é o valor da soma pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.