Question

Dado Sen a = 2/3, ( com 0<a<pi/2 ) determine Sen 2a, Cos 2a e Tg 2a

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se os valores de sen(2a), cos(2a) e tan(2a), sabendo-se que:

sen (a) = 2/3, considerando-se o intervalo: 0 < a < π/2  ---- veja que este intervalo é o primeiro quadrante, local em que TODAS as funções trigonométricas são POSITIVAS.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos encontrar o valor do cos(a) pela primeira relação fundamental da trigonometria, que é esta:

sen²(a) + cos²(a) = 1 ---- substituindo-se sen(a) por "2/3", teremos:
(2/3)² + cos²(a) = 1
4/9 + cos²(a) = 1
cos²(a) = 1 - 4/9 ---- mmc, no 2º membro = 9. Assim:
cos²(a) = (9*1 - 1*4)/9
cos²(a) = (9-4)/9
cos²(a) = (5)/9 ---- ou apenas:
cos²(a) = 5/9
cos(a) = +-√(5/9) ----- veja que isto é a mesma coisa que:
cos(a) = +-√(5)/√(9) ------ como √(9) = 3, teremos:
cos(a) = +-√(5) / 3 ----- como no 1º quadrante todas as funções trigonométricas são positivas, então vamos considerar apenas a raiz positiva e igual a:

cos(a) = √(5)/3 

ii) Como já temos que sen(a) = 2/3 e cos(a) = √(5)/3, vamos então vamos calcular o valor de sen(2a). Note que:

sen(2a) = 2*sen(a).cos(a) ----- substituindo-se sen(a) por "2/3" e cos(a) por √(5)/3, teremos:

sen(2a) = 2*(2/3)*√(5)/3----- efetuando este produto, teremos:
sen(2a) = 2*2*√(5)/3*3
sen(2a) = 4√(5)/9 <---- Este é o valor pedido de sen(2a).

iii) Agora vamos calcular o valor de cos(2a). Note que:

cos(2a) = cos²(a) - sen²(a) ------ substituindo-se sen(a) por "2/3" e cos(a) por √(5)/3, teremos:

cos(2a) = [√(5)/3]² - (2/3)²
cos(2a) = 5/9 - 4/9 ---- ou, o que é a mesma coisa:
cos(2a) = (5-4)/9
cos(2a) = 1/9 <--- Este é o valor pedido de cos(2a)

iv) Agora, finalmente, vamos calcular tan(2a). Note que:

tan(2a) = sen(2a)/cos(2a).

Substituindo-se sen(2a) por "4√(5)/9" e cos(2a) por "1/9" , teremos:

tan(2a) = [4√(5)/9] / (1/9) ---- veja: divisão de fração. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

tan(2a) = [4√(5)/9]*(9/1) --- efetuando-se este produto, ficaremos com:
tan(2a) = 4√(5) * 9 ]/ 9*1 ---- ou, o que é a mesma coisa:
tan(2a) = 9*4√(5) / 9 --- dividindo-se "9" do numerador com "9" do denominador, ficaremos apenas com:

tan(2a) = 4√(5) <--- Este é o valor pedido de tan(2a).

v) Assim, resumindo-se, temos que:

sen(2a) = 4√(5)/9
cos(2a) = 1/9
tan(2a) =  4√(5)
 
É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Uma pergunta

Se em um caso o cos2a e tg2a derem negativa como é no primeiro quadrante é positivo?