Question

Dado que x \in \left [ \frac{3\pi}{2} , 2\pi\right ], determine o valor da cossec x, sabendo que cos(x) = \frac{3}{5}.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos os seguintes dados:

$\begin{cases} x \in \: [ \frac{3\pi}{2} ,2\pi] \\ \\ \cos(x) = \frac{3}{5} \end{cases}$

Lendo o enunciado, notamos que a questão quer saber a cossecante (x), para isso devemos lembrar que a cossecante é igual ao inverso do seno, ou seja, teremos que achar o valor do seno para encontrar a cossecante. O seno será calculado através da relação fundamental da trigonometria:

•Relação fundamental da trigonometria:

$\boxed{\sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1}$

Substituindo os dados:

$\sin {}^{2} (x) + ( \frac{3}{5} ) {}^{2} = 1 \\ \\ \sin {}^{2} (x) + \frac{9}{25} = 1 \\ \\ \sin {}^{2} (x) = 1 - \frac{9}{25} \\ \\ \sin {}^{2} (x) = \frac{25 - 9}{25} \\ \\ \sin {}^{2} (x) = \frac{16}{25} \\ \\ \sin(x) = \pm\sqrt{ \frac{16}{25} } \\ \\ \boxed{\sin(x) = \pm \frac{4}{5} }$

A questão nos diz que o "x" está no terceiro quadrante (3π/2 a 2π), o seno no terceiro quadrante é negativo, então vamos desprezar o valor positivo, sendo a nossa resposta:

$\boxed{ \sin(x) = - \frac{4}{5} }$

Substituindo na fórmula da cossecante:

$\csc(x) = \frac{1}{ \sin( x ) } \\ \\ \csc(x) = \frac{1}{ - \frac{4}{5} } \\ \\ \csc(x) = \frac{1}{1}. - \frac{5}{4} \\ \\ \boxed{\csc(x) = - \frac{5}{4} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️