Question

dado que tg x = 4/3 e que x pertence ao primeiro quadrante,qual o valor de sec de x?

Answer 1

Dado que  tg x = 4/3,  e que  x  pertence ao  1º  quadrante, calcular  sec x.

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Há mais de uma forma de fazer.

Podemos partir da definição de tangente:

     $\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}=\dfrac{4}{3}\\\\\\ 3\,\mathrm{sen\,}x=4\cos x$


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $(3\,\mathrm{sen\,}x)^2=(4\cos x)^2\\\\ 3^2\,\mathrm{sen^2\,}x=4^2\cos^2 x\\\\ 9\,\mathrm{sen^2\,}x=16\cos^2 x$


Mas  sen² x = 1 − cos² x.  Então, ficamos com

     $9\cdot (1-\cos^2 x)=16\cos^2 x\\\\ 9-9\cos^2 x=16\cos^2 x\\\\ 9=16\cos^2 x+9\cos^2 x\\\\ 9=(16+9)\cos^2 x\\\\ 9=25\cos^2 x\\\\ \cos^2 x=\dfrac{9}{25}$


Tomando as raízes quadradas de ambos os lados,

     $\cos x=\pm\,\sqrt{\dfrac{9}{25}}\\\\\\ \cos x=\pm\,\dfrac{3}{5}$


Como  x  é do  1º  quadrante,  o valor do cosseno é positivo:

     $\cos x=\dfrac{3}{5}$


A secante é o inverso do cosseno:

     $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\\\\\\ \sec x=\dfrac{1}{~\frac{3}{5}~}$

     $\sec x=\dfrac{5}{3}$    <————    esta é a resposta.

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Outra forma de fazer seria usando uma identidade trigonométrica bem conhecida:

     $\sec^2 x=1+\mathrm{tg^2\,}x\\\\\\ \sec^2 x=1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\!2}\\\\\\ \sec^2 x=1+\dfrac{16}{9}\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{9+16}{9}\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{25}{9}$


e como a secante é positiva para arcos do  1º  quadrante, temos que

     $\sec x=+\,\sqrt{\dfrac{25}{9}}$

     $\sec x=\dfrac{5}{3}$    <————    novamente, esta é a resposta.


Bons estudos! :-)