Question

Dado que
$w = {e}^{x2y}$
x= sent e y = cost determine dw/dt​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf w = e {}^{sen(t).2cos(t)}$

A questão quer saber qual a derivada de w em relação a t. Primeiro vamos lembrar que a derivada exponencial de uma função composta é:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} e {}^{x} = e {}^{x} . \frac{d}{dx}(x) \: }$

Aplicando essa relação na função, temos que:

$\sf \frac{dw}{dt} = e {}^{sen(t).2cos(t)}. 2\frac{d}{dt} (sen(t).cos(t)) \\ \\ \boxed{\sf (f(x).g(x)) ' = f ' (x).g(x) + f(x).g(x) ' }\\ \\ \sf \sf \frac{dw}{dt} = e {}^{sen(t).2cos(t)}.2((sen(t)) '.cos(t) + sen(t).(cos(t)) ' ) \\ \\ \sf \frac{dw}{dt} = e {}^{2sen(t).cos(t)}2 .(cos(t).cos(t) + sen(t).( - sen(t)) \\ \\ \sf \frac{dw}{dt} = e {}^{2sen(t).cos(t)} .2(cos {}^{2} (t) - sen {}^{2} (t))$

Podemos deixar a resposta desse jeito, mas podemos também lembrar um pouco de trigonometria e recordar que:

$\sf sen(2t) = 2.sen(t).cos(t) \\ \sf e \\ \sf cos(2t) = cos {}^{2} (t) - sen {}^{2} (t)$

Substituindo essas informações:

$\sf \frac{dw}{dt} = e {}^{sen(2t)} .2(cos(2t)) \\ \\ \ \boxed{ \boxed{\boxed{ \sf \frac{dw}{dt} = 2.cos(2t).e {}^{sen(2t)} }}}$

Espero ter ajudado