Question

Dado que senx=2cosx e que x está no 3º quadrante calcule sen2x

Answer 1

Resposta:

Uma vez que $x$ pertence ao 3º quadrante, seu seno e seu cosseno são ambos negativos.

Sabemos que:

$sin\,x = 2 \, cos \,x$

Substituindo a igualdade acima na identidade trigonométrica fundamental, temos:

$sin^2\,x + cos^2\,x = 1\\\\\Longrightarrow \left(2\,cos\,x\right)^2 + cos^2\,x = 1\\\\\Longleftrightarrow 4\,cos^2\,x + cos^2 \, x = 1\\\\\Longleftrightarrow 5\, cos^2 \, x = 1\\\\\Longleftrightarrow cos^2\,x = \frac{\big{1}}{\big{5}}\\\\\Longleftrightarrow cos\,x = - \sqrt{\frac{\big{1}}{\big{5}}} = -\frac{\big{\sqrt{5}}}{\big{5}}$

Assim:

$sin\,x = 2 \cdot \left(-\frac{\big{\sqrt{5}}}{\big{5}} \right)\\\\\Longleftrightarrow sin\,x = -\frac{\big{2\sqrt{5}}}{\big{5}}$

Sabemos que $\pi < x < \frac{\big{3\pi}}{\big{2}}$. Logo, $2\pi < 2x < 3\pi.$ Isto significa que $sin \, 2x$ é positivo.

Calculemos o valor de $sin\,2x:$

$sin \,2x = 2\,sin\,x \,cos\,x\\\\\Longleftrightarrow sin \,2x = 2 \cdot \left(-\frac{\big{2\sqrt{5}}}{\big{5}}\right) \cdot \left(-\frac{\big{\sqrt{5}}}{\big{5}}\right)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{sin \,2x = \frac{\big{4}}{\big{5}}}$