Question

Dado que o volume de um cone é de 432π cm³ e que este cone é equilátero, calcule a área lateral desse cone.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

O volume de um cone equilátero é dado por:

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot r^3\sqrt{3}}{3}$

Assim:

$\sf \dfrac{\pi\cdot r^3\sqrt{3}}{3}=432\pi$

$\sf \pi\cdot r^3\sqrt{3}=3\cdot432\pi$

$\sf \pi\cdot r^3\sqrt{3}=1296\pi$

$\sf r^3=\dfrac{1296\pi}{\pi\cdot\sqrt{3}}$

$\sf r^3=\dfrac{1296}{\sqrt{3}}$

$\sf r^3=\dfrac{1296}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\sf r^3=\dfrac{1296\sqrt{3}}{3}$

$\sf r^3=432\sqrt{3}$

$\sf r=\sqrt[3]{432\sqrt{3}}$

$\sf r=\sqrt[3]{216\cdot2\sqrt{3}}$

$\sf r=6\sqrt[3]{2\sqrt{3}}$

$\sf r=6\sqrt[3]{\sqrt{12}}$

$\sf r=6\sqrt[6]{12}$

Em um cone equilátero, $\sf g=2r$

Assim:

$\sf g=2\cdot6\sqrt[6]{12}$

$\sf g=12\sqrt[6]{12}~cm$

A área lateral é:

$\sf A_L=\pi\cdot r\cdot g$

$\sf A_L=\pi\cdot6\sqrt[6]{12}\cdot12\sqrt[6]{12}$

$\sf A_L=\pi\cdot72\sqrt[6]{12^2}$

$\sf A_L=72\sqrt[3]{12}\cdot\pi~cm^2$