Question

Dado que f(x) > 0 e [f(x)]² = 2x . f(x) + 9, para todo x real, podemos afirmar corretamente que f(4) é igual a
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 9

Answer 1

Temos a expressão

$\mathsf{[f(x)]^{2}=2x\cdot f(x)+9}$

Fazendo x = 4 nessa expressão:

$\mathsf{[f(4)]^{2}=2\cdot4\cdot f(4)+9}\\\\\mathsf{[f(4)]^{2}=8f(4)+9}\\\\\mathsf{[f(4)]^{2}-8f(4)-9=0}$

Fazendo y = f(4), temos uma equação do segundo grau para resolver

$\mathsf{y^{2}-8y-9=0}$

Por soma e produto, temos que

$\mathsf{S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-8)}{1}=8}\\\\\\\mathsf{P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{(-9)}{1}=-9}$

Sabemos que (-1) . 9 = -9, e (-1) + 9 = 8, logo as raízes da equação obtida são 9 e (-1).

Portanto, como y = f(4), temos duas possibilidades:

$\mathsf{f(4)=9\,\,\,\,ou\,\,\,\,f(4)=-1}$

Porém nos foi dado que f(x) > 0 para todo x, portanto descartamos -1 como possível valor de f, concluindo que

$\boxed{\boxed{\mathsf{f(4)=9}}}$