Question

Dado que a transformada de Laplace da saída do sistema é:

Y(s) = (5s^2+3s +1)/(s^3+s^2)

Qual o valor da componente constante em y(t)?

Answer 1

Resposta:

2.

Explicação passo-a-passo:

Olá. Para começar, devemos simplificar essa função racional em partes para podermos aplicar a transformada inversa. Assim sendo:

$\frac{5s^{2} + 3s + 1}{s^{3} + s^{2}}$

$\frac{5s^{2} + 3s + 1}{s^{2}(s +1)}$

$\frac{5}{s+1} + \frac{3}{s(s+1)} + \frac{1}{s^{2}(s+1)}$

Agora vamos nos organizar calculando a transformada inversa para as três frações acima uma de cada vez.

Fração 1:

$L^{-1}(\frac{5}{s+1}) = 5*L^{-1}(\frac{1}{s+1})$

Pela propriedade

$L(f(t)*e^{-at}) = F(s+a)$

vemos que se

$f(t) = 1$

então,

$F(s) = \frac{1}{s}$

$F(s+1) = \frac{1}{s+1}$

e

$L^{-1}(F(s+1)) = L^{-1}(\frac{1}{s+1})$

que é exatamente o que tínhamos mais acima. Mas, agora, como

$L^{-1}(L(f(t)*e^{-at})) = L^{-1}(F(s+a))$

$f(t)*e^{-at} = L^{-1}(F(s+a))$

Segue que para a = 1 e f(t) = 1,

$e^{-t} = L^{-1}(F(s+1)) = L^{-1}(\frac{1}{s+1})$

e portanto:

$L^{-1}(\frac{5}{s+1}) = 5e^{-t}$

Fração 2:

$L^{-1}(\frac{3}{s(s+1)}) = 3*L^{-1}(\frac{1}{s(s+1)})$

Abrindo em frações parciais:

$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1}$

$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s}*\frac{s+1}{s+1} + \frac{B}{s+1}*\frac{s}{s}$

$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{A(s+1) + Bs}{s(s+1)}$

$1 = As + A + Bs\\1 = (A+B)s + A$

Pela igualdade de polinômios, vemos que o coeficiente de s do lado esquerdo é 0 e o coeficiente do termo constante 1. Isto só é verdade se e somente se:

$\left \{ {{A+B = 0} \atop {1 = A}} \right.$

Ou seja, A = 1 e B = -1. Portanto, aplicando a transformada inversa nesses dois membros:

$L^{-1}(\frac{3}{s(s+1)}) = 3*(L^{-1}(\frac{1}{s}) + L^{-1}(\frac{-1}{s+1}))$

$L^{-1}(\frac{3}{s(s+1)}) = 3(1 -e^{-t}) = 3 -3e^{-t}$

Fração 3:

$L^{-1}(\frac{1}{s^{2}(s+1)})$

Aplicando frações parciais:

$\frac{1}{s^{2}(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^{2}} + \frac{C}{s+1}$

Eliminando o denominador e montando o sistema:

$\frac{1}{s^{2}(s+1)} = \frac{As(s+1) + B(s+1) + Cs^{2}}{s^{2}(s+1)}$

$1 = As(s+1) + B(s+1) + Cs^{2}$

$1 = As^{2} + As + Bs + B + Cs^{2}$

$1 = (A+C)s^{2} + (A+B)s + B$

que é novamente uma igualdade polinômios que só se manterá como verdadeira se e somente se:

$\left \{ {{A+C=0} \atop {A+B=0}} \right. \\\left \{ {{B=1}$

Ou seja,

B = 1, A = -1 e C = 1. Assim sendo, podemos calcular a transformada inversa de cada membro:

$L^{-1}(\frac{1}{s^{2}(s+1)}) = L^{-1}(\frac{A}{s}) + L^{-1}(\frac{B}{s^{2}}) + L^{-1}(\frac{C}{s+1})$

$L^{-1}(\frac{1}{s^{2}(s+1)}) = L^{-1}(\frac{-1}{s}) + L^{-1}(\frac{1}{s^{2}}) + L^{-1}(\frac{1}{s+1})$

$L^{-1}(\frac{1}{s^{2}(s+1)}) = -1 + t + e^{-t}$

Os resultados das três frações são, assim:

$L^{-1}(\frac{5}{s+1}) = 5e^{-t}$

$L^{-1}(\frac{3}{s(s+1)}) = 3 -3e^{-t}$

$L^{-1}(\frac{1}{s^{2}(s+1)}) = -1 + t + e^{-t}$

Portanto,

$L^{-1}(\frac{5s^{2} + 3s + 1}{s^{3} + s^{2}}) = L^{-1}(\frac{5}{s+1} + \frac{3}{s(s+1)} + \frac{1}{s^{2}(s+1)})$

Definindo a nossa Y(t) como sendo:

$Y(t) = L^{-1}(\frac{5s^{2} + 3s + 1}{s^{3} + s^{2}})$

Segue que:

$Y(t) = (5e^{-t}) + (3 -3e^{-t}) + (-1 + t +e^{-t})$

$Y(t) = 3e^{-t} + t + 2$

Ou seja, a componente constante vale 2.

Favorita ai porque deu um trabalho fazer cada detalhe!