Question

Dado que a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0, o valor de: a^2000 + a^2010 + 1 é:

A) 0
B) 1
C)3
D) 5

Answer 1

A questão proposta nos fornece a seguinte equação polinomial univariada na incógnita a:

$\mathsf{a^4+a^3+a^2+a+1=0}$

Baseado nisso, ela solicita o valor da expressão:

$\mathsf{a^{2000}+a^{2010}+1\qquad(i)}$

Por conseguinte, deve-se partir da equação polinomial inicial e proceder tal como se segue:

$\mathsf{\qquad\quad\, a^4+a^3+a^2+a+1=0}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \big(a-1\big)\!\big(a^4+a^3+a^2+a+1\big)=0}$

Para dar continuidade ao desenvolvimento acima, faz-se necessário ter conhecimento da identidade algébrica:

$\mathsf{x^5-1=\big(x-1\big)\!\big(x^4+x^3+x^2+x+1\big)}$

, válida para todo x complexo.

Destarte, temos:

$\mathsf{\qquad\quad\ \, \underbrace{\mathsf{\big(a-1\big)\!\big(a^4+a^3+a^2+a+1\big)}}_{a^5-1}=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad a^5-1=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad a^5=1}$

Consequentemente, o trinômio (i) torna-se equivalente a:

$\mathsf{\quad\: 1+a^{2000}+a^{2010}}\\\\\\ \mathsf{=\,1+\big(a^5\big)^{\!400}+\big(a^5\big)^{\!402}\!}\\\\\\ \mathsf{=\, 1+1^{400}+1^{402}}\\\\ \mathsf{=\,1+1+1}\\\\ \mathsf{=\,3}$

Como vimos acima, o valor da expressão algébrica (i) é igual a 3 (três), ou seja:

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{a^{2000}+a^{2010}+1=3}}}}$

• Item correto: C).

Leosandes, um grande abraço!