Question

Dado os vetores u→ = ( K , -2, 1 ) , v→ = ( 1, 0 , -3 ) , e w→ = (-4, -2 , -1 ) Determine :

a) O valor de K para que os vetores u→ e v → sejam ortogonais

b) O produto vetorial entre os vetores v→ e w →

c) O volume do paralelepípedo formado pelos vetores u→ v → e w →
obs: Utilize o valor de K encontrado no item a para compor as coordenadas do vetor u→ deste exercício

Answer 1

Olá

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A)

Se dois vetores são ortogonais, então o produto escalar entre eles é zero.
Então vamos calcular o produto escalar entre os dois vetores, com isso encontraremos o valor do K

$\vec{u}=(k,-2,1) \\ \vec{v}=(1,0,-3) \\ \\ \\ \text{Fazendo o produto escalar} \\ \\ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \\ \\ \\ (k,-2,1)\cdot(1,0,-3)=0 \\(k\cdot 1~-~2\cdot0~+~1\cdot (-3)) \\ k-0-3=0 \\ \\ \boxed{k=3}$


R: Para que u e v sejam ortogonais, k tem que ser igual a 3



B)

Calculando o produto vetorial entre v e w

$\vec{v} = ( 1, 0 , -3 ) \\ \\ \vec{w} = (-4, -2 , -1 ) \\ \\ \\ \vec{u}\times\vec{w}= \left\begin{vmatrix}\^i&\^j&\^k\\1&0&-3\\-4&-2&-1\end{vmatrix}\right \\ \\ \\ \\ \vec{u}\times\vec{w}= \left\begin{vmatrix} \^i ~ ~~~~ ~~ & \^j~ ~~~~ ~~ & \^k~ ~~~~ ~~ & \^i ~ ~~~~ ~~ \^j \\ 1~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & -3~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ 0 \\ -4 ~ ~~~~ ~~ & -2~ ~~~~ ~~ & -1 ~ ~~~~~ ~ & -4 ~~~~~ -2 \end{vmatrix}\right$



$=-6\^i +11\^j-2\^k$

$\boxed{\vec{v}\times\vec{w}=(-6 ,11,-2) }~~~~~~~~ ~~\longleftarrow~~~\text{Esta e a resposta}$



C)

Podemos calcular o volume do paralelepípedo através do módulo do produto misto entre os 3 vetores...
Para calcular o produto misto, basta montar uma matriz 3x3 com os vetores.
No lugar do 'k', colocaremos o valor que encontramos no item A)

$\vec{u} = ( 3 , -2, 1 ) \\ \vec{v} = ( 1, 0 , -3 ) \\ \vec{w} = (-4, -2 , -1 ) \\ \\ \\ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\left\begin{vmatrix}3&-2&1\\1&0&-3\\-4&-2&-1\end{vmatrix}\right \\ \\ \\ \text{Calcula o determinante por sarrus (ou outro metodo)} \\ \\ \\ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\left\begin{vmatrix}3~&-2&1&3&-2~~\\1&0&-3&1&0\\-4~&~-2~&~-1~&~-4~&~-2~~~\end{vmatrix}\right \\ \\ \\= (0-24-2)-(2+18+0) \\ \\ = (-26)-(20) \\ \\ =-26-20 \\ \\ =-46$

$|(\vec{u},\vec{v},\vec{w})|= \sqrt{(-46)^2} \\ \\ |(\vec{u},\vec{v},\vec{w})|= \sqrt{2116} \\ \\ \\ \boxed{ |(\vec{u},\vec{v},\vec{w})|= 46~u.v.}~~~~ ~\longleftarrow \text{Esta e a resposta} \\ \\ \\ ~\text{46 unidades de volume}$