Question

dado os pontos A(3,2), B(4,6) e C(8,22) verifique se eles são colineares. Como?

Answer 1

Para três pontos serem colineares, ou seja, pertencerem à mesma reta, é preciso que o Determinante correspondentes a estes pontos seja igual a 0.
Isso porque três pontos distintos podem formar um triângulo, e a área do triângulo pode ser calculada pela metade do Determinante destes pontos. Assim, se o determinante é igual a 0, significa que esse "triângulo" não possui área, ou seja, é na verdade uma reta por onde passa esses três pontos.

Assim temos:

$D= \begin{vmatrix}3 & 2 & 1\\ 4 & 6 & 1\\ 8 & 22 & 1 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 3 & 2\\ 4 & 6\\ 8 & 22 \end{array}$


Obtemos o Determinante subtraindo a Diagonal Principal pela Diagonal Secundária.

Calculando a Diagonal Principal:

$3\cdot 6\cdot 1+2\cdot 1\cdot 8+1\cdot 4\cdot 22=\\ \\ 18+16+88=122$


Calculando a Diagonal Secundária:

$1\cdot 6\cdot 8+3\cdot 1\cdot 22+2\cdot 4\cdot 1=\\ \\ 48+66+8=122$


Assim, o Determinante é:

D = 122 - 122 = 0

Dessa forma podemos afirmar que os três pontos são colineares.