Question

Dado os pontos A(1,3,0) e B(4,6,3) determinar as coordenadas de um ponto M sobre a reta q contem ab tal q am =2mb

Answer 1

Olá, 39121991.

Equação paramétrica da reta que contém os pontos A(1,3,0) e B(4,6,3):
(x,y,z) = (1,3,0) + α[(4,6,3) - (1,3,0)] = (1,3,0) + α(3,3,3) ≡ (1,3,0) + α(1,1,1) =
= (1+α, 3+α, α)

Ponto M(x,y,z) tal que a distância a A seja o dobro da distância a B:
$d\²_{AM}=d\²_{MB}$ ⇒
(x-1)² + (y-3)² + z² = 2[(x-4)² + (y-6)² + (z-3)²] ⇒
(1+α-1)² + (3+α-3)² + α² = 2[(1+α-4)² + (3+α-6)² + (α-3)²] ⇒
α² + α² + α² = 2[(α-3)² + (α-3)² + (α-3)²] ⇒
3α² = 2[3(α-3)²] ⇒
3α² = 6(α² - 6α + 9) ⇒
α² = 2(α² - 6α + 9) ⇒
α² = 2α² - 12α + 18 ⇒
α² - 12α + 18 = 0

Δ = 144 - 72 = 72 = 2 × 36 ⇒ √Δ = 6√2 ⇒ α = $\frac{12\pm6\sqrt2}{2}=6\pm3\sqrt2$

Ponto M procurado: 
(1+α, 3+α, α) = $(1+6\pm3\sqrt2,3+6\pm3\sqrt2,6\pm3\sqrt2)$ =
= $(7\pm3\sqrt2,9\pm3\sqrt2,6\pm3\sqrt2)$

Como o ponto M está entre A e B, então o ponto procurado é:
$\boxed{(7-3\sqrt2,9-3\sqrt2,6-3\sqrt2)}$ (o outro ponto está além do ponto B)