Dado o triângulo retangulo de catetos 3 e 4 ,determine o retângulo de maior área nele inscrito ,de modo que um dos lados esteja contido na hipotenusa:
Soluções para a tarefa
O retângulo que satisfaz as condições terá os vértices A(3, 0), B(0, 4), D(-48/25, -64/25) e E(54/25, -63/100).
Supondo que os vértices do triângulos sejam A(3, 0), B(0, 4) e C(0, 0), com ângulo reto em C, temos que AB é a hipotenusa e mede 5. Devemos achar então uma reta paralela a AB que passa por C, para isso, basta encontrar a equação de AB:
0 = 3a + b
4 = 0a + b
b = 4
a = -4/3
Sendo (0,0) um ponto da reta que queremos:
0 = (-4/3).0 + b
b = 0
A reta 1 paralela a AB que passa por C é y = (-4/3)x. Agora, precisamos de uma reta perpendicular a AB que passa por A e outra que passa por B. Retas perpendiculares tem o produto dos coeficientes angulares igual a -1, logo, o coeficiente das retas que procuramos é 3/4.
0 = (3/4).3 + b
b = -9/4
reta 2: y = (3/4)x - 9/4
4 = (3/4).0 + b
b = 4
reta 3: y = (3/4)x + 4
Agora, precisamos encontrar a interseção entre a reta 1 e 2 e a interseção entre a reta 1 e 3, para encontrar os outros dois vértices do retângulo:
(-4/3)x = (3/4)x - 9/4
9/4 = x(3/4 + 4/3)
x = (9/4)/(25/12)
x = 54/25
y = -63/100
Repetindo para a reta 3:
(-4/3)x = (3/4)x + 4
-4 = (25/12)x
x = -48/25
y = -64/25