Question

dado o triângulo equilátero inscrito na circunferência cujo lado mede 18 centímetros determine a medida do raio da circunferência E à medida do apótema

Answer 1

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Ola Catarina

lado l = 18

altura h = √3*l/2 = √3*18/2 = 9√3 

raio r = √3*l/3 = √3*18/3 = 6√3

apótema  a = h - r = 9√3 - 6√3 = 3√3

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Answer 2

Vamos chamar aos vértices do triângulo de A, B e C. A partir do vértice A, vamos traçar uma perpendicular ao lado BC, obtendo neste lado o ponto M.
Assim, AM será a altura, a bissetriz e a mediana desta lado. Como sabemos que num triângulo equilátero estes três segmentos (chamados de cevianas) se encontram em um único ponto (G), que está a 2/3 do vértice A, poderemos obter o raio da circunferência que circunscreve o triângulo, pois 
AG = 2/3 AM [1]

O valor de AM poderá ser obtido aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo AMB, pois:
AM = cateto
AB = hipotenusa
BM = cateto

AB² = AM² + BM² [2]

Como M é o ponto médio do lado BC, BM = CM = BC/2:
BM = 18/2
BM = 9 cm

Substituindo BM e AB em [2]:

18² = AM² + 9²
AM² = 18² - 9²
AM = √324 - 81
AM = 15,59 cm

Substituindo AM em [1]:
AG = 2/3 × 15,59
AG = 10,39 cm

R.: O raio da circunferência que circunscreve o triangulo equilátero de 18 cm de lado mede 10,39 cm.