Question

Dado o triângulo cujos vértices são A(1, 1), B(4, 0) e C(3, 4), determine: (a) os ângulos A, B e C

Answer 1

boa noite

A(1, 1), B(4, 0), C(3, 4), 

a = AB = √10
b = BC = √17
c = AC = 5 

lei dos cossenos

a² = b² + c² - 2bc*cos(A)
10 = 17 + 25 - 10√17*cos(A)
cos(A) = 0.77611
A = 39.10

b² = a² + c² - 2ac*cos(B)
17 = 10 + 25 - 2*√10*5*cps(B)
cos(B) = 0.56921
B = 55.3°

c² = a² + b² - 2ab*cos(C)
25 = 10 + 17 - 2*√10*√17*cps(C)
cos(C) = 0.076696
C = 85.6°

A + B + C = 39.10 + 55.30 + 85.60 = 180 

Answer 2

Boa noite


Vamos  renomear as retas  AB , AC  e   BC   como :

AB = r      ;       AC = s      e    BC = t

os coeficientes angulares das retas serão dados por  :

$m_{r}= \dfrac{ y_{A}- y_{B} }{x_{A}- x_{B}} = \dfrac{1-0}{1-4} \Rightarrow m_{r}= -\dfrac{1}{3} \\ \\ \\ m_{s}= \dfrac{ y_{A}- y_{C} }{x_{A}- x_{C}} = \dfrac{1-4}{1-3} \Rightarrow m_{s}= \dfrac{3}{2} \\ \\ \\ m_{t}= \dfrac{ y_{B}- y_{C} }{x_{B}- x_{C}} = \dfrac{0-4}{4-3} \Rightarrow m_{t}=-4$

O ângulo α formado pelas retas   r  e  s    é 

$tg \alpha =| \dfrac{ m_{r}- m_{s} }{1+ m_{r} *m_{s} } |=| \dfrac{- \dfrac{1}{3}- \dfrac{3}{2} }{1+(- \dfrac{1}{3} )* \dfrac{3}{2} } |=| \dfrac{- \dfrac{11}{6} }{ \dfrac{1}{2} } | \\ \\ \\ tg \alpha = \dfrac{11}{3}$

α é o arco cuja tangente é   11 / 3  ⇒ α =1,3045 rad

Transformando radianos em graus

$\dfrac{ \alpha }{180}= \dfrac{1,3045}{3,14} \Rightarrow \alpha = \dfrac{180*1,3045}{3,14} \Rightarrow \alpha =74,78 graus$

O ângulo β formado pelas retas r  e  t  é  

$tg \beta =| \dfrac{ m_{r} - m_{t} }{1+ m_{r} * m_{t} } |=| \dfrac{- \dfrac{1}{3}-(-4) }{1+(- \frac{1}{3} )*(-4)} |=| \dfrac{ \frac{11}{3} }{ \frac{7}{3} } | \\ \\ \\ tg \beta = \frac{11}{7}$

β é o arco cuja tangente é  11 / 7 ⇒ β = 1,004rad

Transformando radianos em graus

$\dfrac{ \beta }{180}= \dfrac{1,004}{3,14} \Rightarrow \beta =\dfrac{180*1,004}{3,14} \Rightarrow \beta =57,55graus$

O ângulo  C formado pelas retas   s  e  t   é 

$tgC=| \dfrac{ m_{s} - m_{t} }{1+ m_{s} * m_{t} } |=| \dfrac{ \dfrac{3}{2}-(-4) }{1+ \dfrac{3}{2}*(-4) } |= \dfrac{11}{10} \Rightarrow C=0,8329rad$

Transformando radianos em graus

$\dfrac{C}{180} = \dfrac{0,8329}{3,14} \Rightarrow C= \dfrac{180*0,8329}{3,14} \Rightarrow C=47,74graus$

Resposta  :  

A= 74,78º      B= 57,55º    e  C=47,74º

Obs.  a soma dá 180,07º  [  com erro de  0,07º  nos cálculos ]