Question

dado o triangulo abc,em que A(2,6) B(-3-2). e C(5,-6) sao vértices, determine a equaçao da reta do lado: a)AB. b)AC. c)BC

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se: dado o triângulo ABC, em que os seus vértices têm as seguintes coordenadas: A(2; 6); B(-3; -2); e C(5; -6), pede-se para determinar a equação da reta dos lados AB, AC e BC.

Bem, vamos por parte, tentando fazendo tudo passo a passo para um melhor entendimento. Assim, teremos:


a) Para encontrar a reta do lado AB, cujos vértices são: A(2; 6) e B(-3; -2), vamos, primeiro encontrar o coeficiente angular (m) dessa reta.
A propósito, veja que se temos dois pontos A(xo; yo) e B(x1; y1), o coeficiente angular (m) da reta que passa nesses dois pontos é dado por;

m = (y1-yo)/(x1-xo)

Assim, tendo a fórmula acima como parâmetro, então o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A(2; 6) e B(-3; -2) será dado assim:

m = (-2-6)/(-3-2)
m = (-8)/(-5) ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, teremos:
m = 8/5 <---- Este é o coeficiente angular da reta do lado AB.

Agora note mais isto: a fórmula para encontrarmos a equação de uma reta, quando já conhecemos o seu coeficiente angular (m) e apenas um ponto por onde ela passa (xo; yo), é dada por:

y - yo = m*(x - xo).

Assim, tendo a fórmula acima como parâmetro, e considerando que o coeficiente angular da reta do lado AB é: m = 8/5 e levando em conta ainda que ela passa no ponto A(2; 6), então a sua equação será dada por (veja que poderíamos considerar quaisquer um dos pontos por onde ela passa. No caso, estamos considerando o ponto A(2; 6), mas também poderia ser o ponto B(-3; -2), que o resultado iria ser o mesmo):

y - 6 = (8/5)*(x - 2) ------ note que isto é a mesma coisa que;
y - 6 = 8*(x - 2)/5 ------- multiplicando em cruz, teremos:
5*(y - 6) = 8*(x - 2) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:
5y - 30 = 8x - 16
5y = 8x - 16 + 30
5y = 8x + 14
y = (8x + 14)/5 ----- ou, dividindo-se ambos os fatores por "5":
y = 8x/5 + 14/5 <---- Esta é a equação reduzida da reta do lado AB.

Se você quiser saber qual é a equação geral, então veja que, para encontrarmos a equação reduzida vista acima, partimos de uma da "passagens" em que tínhamos isto:

5y = 8x + 14 ------- passando "5y" para o 2º membro, teremos:
0 = 8x + 14 - 5y ----- ordenando, teremos:
0 = 8x - 5y + 14 ---- ou, invertendo-se;
8x - 5y + 14 = 0 <---- Esta é a equação geral da reta do lado AB.

Você escolhe qual qual equação quer apresentar (se a equação reduzida ou se a equação geral).


b) Para encontrar a equação da reta do lado AC, você procederá da mesma forma que fez para encontrar a do lado AB.
Assim, vamos apenas repetir as operações feitas no item "a" acima, sem mais nenhuma explicação, já que tudo já foi explicado, quando da resolução da questão do item "a" acima.
Assim, considerando que o lado AC tem as coordenadas: A(2; 6) e C(5; -6), teremos:

b.i) Encontrando o coeficiente angular (m):

m = (-6-6) / (5-2)
m = (-12)/(3)  ----- ou apenas:
m = -12/3
m = - 4 <---- Este é o coeficiente angular da reta do lado AC.

b.ii) Agora, como já temos que m = - 4, vamos considerar o ponto A(2; 6) para encontrar a equação da reta. Assim:

y - 6 = - 4*(x - 2)
y - 6 = - 4x + 8
y = - 4x + 8 + 6
y = - 4x + 14  <---- Esta é a equação reduzida da reta do lado AC.

Para encontrar a equação geral, então, já a partir da equação reduzida acima, que é:

y = - 4x + 14 , basta passar todo o 2º membro para o 1º, e teremos:

y + 4x - 14 = 0 ----- ordenando, teremos:
4x + y - 14 = 0  <--- Esta é a equação geral da reta do lado AC.


c) Finalmente, para encontrar a equação da reta do lado BC, com B(-3; -2) e C(5; -6), procederemos da mesma forma. Assim, teremos:

m = (-6-(-2))/(5-(-3))
m = (-6+2) / (5+3)
m = (-4)/8 --- ou apenas:
m = -4/8 ---- dividindo-se numerador e denominador por "4", teremos:
m = -1/2 <---- Este é o coeficiente angular da reta do lado BC.

Agora vamos encontrar a equação da reta do lado BC, considerando o coeficiente angular (m = -1/2) e um dos pontos dados, que escolheremos o lado C(5; -6). Assim:

y - (-6) = (-1/2*(x-5)
y + 6 = (-1/2)*(x-5) --- ou, o que é a mesma coisa:
y + 6 = -1*(x-5)/2 ----- multiplicando em cruz, teremos:
2*(y+6) = -1*(x-5) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:
2y+12 = -x + 5
2y = -x + 5 - 12
2y = - x - 7
y = (-x - 7)/2 ---- ou, o que é a mesma coisa:
y = -x/2 - 7/2 <---- Esta é a equação reduzida da reta do lado BC.

Se quiser a equação geral, então, a partir de uma das "passagens" acima, que foi esta:

2y = - x - 7 , passaremos todo o 2º membro para o 1º, e ficaremos assim:

2y + x + 7 = 0 ----- ordenando, teremos:
x + 2y + 7 = 0 <---- Esta é a equação geral da reta do lado BC.


Deu pra entender bem todo o desenvolvimento?

OK?
Adjemir.