dado o triângulo ABC da figura abaixo,calcule.(utilize a lei dos cossenos)
a)o valor de x=
B)o perímetro do triângulo ABC=
c)a area do triângulo ABC=
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) 8 cm b) 18 cm c) 6√3 cm²
Explicação passo-a-passo:
como ele deu o ângulo oposto a 7, usarei a lei dos cossenos a partir dele
7²=x²+3²-2.x.3.cos60
49=x²+9-6x1/2
49=x²+9-3x
x²-3x-40=0
agora falta achar as raízes
Δ=(-3)²-4.1.(-40)
Δ=169
usando Bháskara:
3±√169÷2= x'=8 x''= -5
como a medida não pode ser negativa, x vale 8cm
b) 3+7+x
3+7+8= 18cm
c) usando o teorema de herão, onde:
Área= √S(S-A)(S-B)(S-C), onde S é o semiperímetro do triângulo e A, B e C são os lados.
Área= √9.(9-8).(9-7).(9-3)
Área= √9.1.2.6
Área=√108
Área=6√3 cm²
Resposta:
a) Como solicitado pela questão, usa-se a lei dos cossenos para calcular o valor de x.
Na lei dos cossenos, para você obter o valor de um lado (que, no caso desta questão, é x), você precisa ter o valor de dois lados e o ângulo oposto a um dos lados.
A fórmula é a² = b² + c² - 2 (b) (c) (cosα)
O ponto desta questão é que o ângulo dado está oposto ao lado 7cm, e não a x. Logo, substituindo ali na fórmula, o 7 ficará no lugar de "a". O ângulo sempre deve ser oposto ao lado que está isolado na fórmula. Resolvendo:
7² = x² + 3² - 2 (x) (3) (cos60º)
49 = x² + 9 - 6x (1/2)
x² + 9 - 49 - 3x = 0
x² - 3x - 40 = 0
Temos, então, uma equação do 2º grau.
Δ = b² - 4 (a) (c)
Δ = (-3)² - 4 (1) (-40)
Δ = 9 + 40
Δ = 49
x = - b ±√Δ / 2a
x = - (-3) ± √49 / 2 (1)
x = 3 ± 7 / 2
x1 = 3+7 /2 = 10/2 = 5
x2 = 3 - 7 /2 = -4/2 = -2
Temos dois valores para x, no entanto, o único que satisfaz é 5, pois lados de triângulos não podem ter números negativos.
Logo, x = 5 cm.
b) Para calcular o perímetro, basta somar os lados.
2P = 3 + 7 + 5 = 15 cm.
c) Para calcular a área do triângulo, precisamos da base e da altura (que é o que precisamos descobrir nesta questão). Já que temos o ângulo de 60º ali, podemos traçar uma altura do ponto A até o lado x (ou 5, como já descobrimos).
Bom, quando traçamos a altura, temos um triângulo retângulo, e, logo, para encontrar a altura, basta usar as relações trigonométricas. A altura é o cateto oposto ao ângulo de 60º, e 3cm é a hipotenusa. Utilizaremos o seno para achar o valor da altura.
sen60º = h/3
√3/2 = h/3
h = 3√3/2 cm.
Logo, a área será:
A = b × h / 2
A = 5 × 3√3/2 / 2
A = 15 √3 /2 /2
A = 15√3/2 × 1 / 2
A = 15√3 / 4 cm²
Espero ter ajudado! Qualquer dúvida, só chamar :).
Meu desenho é meio imperfeito, mas é isso, haha
