Question

Dado o triangulo abaixo que não é retângulo, calcule o valor de x

Answer 1

Temos dois lados conhecidos e um ângulo, portanto, podemos usar a lei dos cossenos:

$\boxed{\boxed{\mathsf{a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta}}}$

onde $\theta$ é o ângulo oposto ao lado $a$
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O lado oposto ao ângulo de 60º é o que mede 7 centímetros, logo, pela lei dos cossenos:

$7^{2}=x^{2}+3^{2}-2\cdot x\cdot 3\cdot\cos60\º\\\\49=x^{2}+9-6x\cdot\frac{1}{2}\\\\49=x^{2}+9-3x\\\\0=x^{2}+9-3x-49\\\\0=x^{2}-3x-40\\\\x^{2}-3x-40=0$

Podemos resolver essa equação do segundo grau por soma e produto

$\mathsf{S}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-3)}{1}=3\\\\\\\mathsf{P}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-40}{1}=-40$

A soma das raízes é 3 e o produto é -40. É fácil verificar que $x=-5$ e $x=8$ são as raízes

Como $x$ é a medida de um lado do triângulo tem-se que $x~\textgreater~0$. Logo:

$\boxed{\boxed{x=8~\mathtt{cm}}}$