Question

Dado o sistema homogêneo, determine a,b e c

$\left \{ {{x+y+z= a-2} \atop {x+2y+3z=2a+c}} \atop x-y+2z=a+2b-c}}\right.$

Answer 1

Sistema homogêneo sempre admite pelo menos uma solução
Essa solução é chamada de solução nula ou trivial

x+y+z=0
x+2y+3z=0+(-1 vez a primeira linha)
x-y+2z=0+(-1 vez a primeira linha)

x+y+z=0
y+2z=0 
-2y+z=0+(2 vezes a segunda linha)

x+y+z=0 ⇒ x+0+0=0 ⇒ x=0
y+2z=0 ⇒ y=-2z=0
5z=0 ⇒ z=0

Ou seja, solução trivial, (x,y,z)=(0,0,0)

Logo, para a solução ser trivial e o sistema ser assim, um sistema homogêneo
Temos que, as respostas das equações tem que ser igual a zero

0=a-2 ⇒ a=2
0=2a+c ⇒ 4+c=0 ⇒ c=-4
0=a+2b-c ⇒ 2+2b-(-4)=0 ⇒ 6+2b=0 ⇒ b=-6/2 ⇒ b=-3

Resposta: a=2 b=-3 e c=-4