Question

Dado o ponto médio M = (6; 4), determine o simétrico P' do ponto P (3,2).

Answer 1

Resposta:

P '  ( 9 ; 6 )

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Dado o ponto médio M = (6; 4), determine o simétrico P' do ponto P (3,2).

Resolução:

No esquema abaixo temos a colocação dos pontos de acordo com o enunciado.

ººººººººº P ººººººººººººººº M ººººººººººººººº P ' ººººººººººº

           ( 3 ; 2)                 ( 6 ; 4 )                 (x2 ; y2)

Tem-se então P' simétrico do ponto P.

É como que o ponto M fosse um espelho e o reflexo do ponto P fosse

o ponto P'.

Isto é simetria.

No sistema de eixos cartesianos ( dos xx e dos yy ) estes três pontos não estão na horizontal.

Mas é esta a posição entre eles, de acordo com o enunciado.

Para o cálculo de ponto P '  vamos usar a fórmula de ponto médio entre dois pontos:

P ( x1 ; y1 )           P ' ( x2 ; y2 )

M [ P  P'] =  [ ( x1 + x2 ) / 2  ; ( y1 + y2 ) /2  ]

Substituindo pelos valores que se conhece:

( 6 ; 4 ) = [ ( 3 + x2 ) / 2  ; ( 2 + y2 ) /2  ]        

Vamos montar um sistema de duas equações a duas incógnitas :

{ 6 = ( 3 + x2 ) / 2  

{ 4 = ( 2 + y2 ) /2

⇔

{ 6 / 1  = ( 3 + x2 ) / 2

{ 4 / 1  = ( 2 + y2 ) / 2

 

Multiplicar o numerador e o denominador, das frações dos primeiros membros, por 2.

O objetivo é que todas as frações tenham o mesmo denominador.

Quando assim estiverem podemos "retirar" os denominadores.

⇔

{ (6 * 2) /( 1 *2 ) = ( 3 + x2 ) / 2

{ (4 * 2) / ( 1 *2 ) = ( 2 + y2 ) /2

⇔

{ 12 / 2 = ( 3 + x2 ) / 2

{ 8 / 2    = ( 2 + y2 ) /2

Agora podemos "retirar" os denominadores.

⇔

{ 12  =  3 + x2    

{ 8    =  2 + y2

Os termos em x2 e y2 ficam nos segundos membros das equações.

Não problema em lá estarem.

Têm é que estarem "isolados" .

Para os primeiros membros passamos os termos "sem x2 e y2" , trocando os sinais.

⇔

{ 12 - 3  =  x2

{ 8 - 2   =   y2

⇔

{ 9  =  x2

{ 6  =   y2

Temos as coordenadas do P '  ( 9 ; 6 )    

Verificação:

Vamos "calcular" o ponto médio do segmento de reta [ PP ' ]

M [ PP ' ] =

( ( 3 + 9 ) / 2  ;  ( 2 + 6 ) / 2 )

= ( 12/2 ; 8/2 )

= ( 6 ; 4 )      estas são as coordenadas do ponto M

Correto e verificado.  

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir           (⇔) equivalente a      

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.