Question

Dado o polinômio x^4 + x^3 - mx^2 - nx + 2, determinar m e n para que o mesmo seja divisível por x^2 - x - 2. A soma m + n é igual a:

Answer 1

Resposta:

m+n=10

Explicação passo a passo:

devemos lembrar do algoritmo de divisão de Euclides, onde P(x)=Q(x).D(x)+R(x)

Pra que um polinômio seja divisível por outro o R(x)=0

Gr(Q(x))=Gr(P(x))-Gr(D(x))

Gr(R(x))=Gr(D(x))-1

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P(x)=(a$x^{2}$+bx+c)($x^{2}$-x-2)+0 ---> fazendo distributiva

P(x)=a$x^{4}$+(b-a)$x^{3}$+(c-2a-b)$x^{2}$+(-2b-c)x-2c

P(x)= $x^{4}$+$x^{3}$-m$x^{2}$-nx+2

então:

a=1

b-a=1 --> b=2

-2c=2

c=-1

c-4=-m ---> m=5

-2b-c=-n

-4-1=-n---> n=5

m+n=10

Answer 2

Com a divisão de polinômios, temos como resposta que m + n =10

Algoritmo de Divisão Polinomial

Se p(x) e g(x) são quaisquer dois polinômios com g(x) ≠ 0, então podemos encontrar polinômios q(x) e r(x) tais que

• p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

Aqui,

• r(x) = 0 ou grau de r(x) < grau de g(x)

Este resultado é chamado de Algoritmo de Divisão para polinômios.

Podemos verificar o algoritmo de divisão polinomial como:

• p(x) = 3x³ + x² + 2x + 5

• g(x) = x² + 2x + 1

Além disso,

• quociente = q(x) = 3x – 1
• resto = r(x) = 9x + 10

Agora,

g(x)*q(x) + r(x) = (x² + 2x + 1) × (3x – 5) + (9x + 10) = 3x³ + 6x² + 3x – 5x² – 10x – 5 + 9x + 10 = 3x³ + x² + 2x + 5 = p(x)

Sendo assim:

x^4 .... + x³ ...... - mx² ....... - nx ........... + 2 ...... |x² - x - 2_______

- x^4 .... + x³ ...... + 2x² ....................................    |x² + 2x + (4 - m)

__________________________________

......... + 2x³ .... + (2 - m)*x² ... - nx

......... - 2x³ ........ + 2x² ....... + 4x

___________________________________________________

.................... + (4 - m)x² .... + (4 - n)x ..... + 2

.................... - (4 - n)x² ..... + (m - 4)x .... + (8 - 2m)

___________________________________________________

....................................... + (m - n)x .... + 10 - 2m

10 - 2m = 0 ----> m = 5

m - n = 0 -----> n = 5

Saiba mais sobre divisão de polinômios:https://brainly.com.br/tarefa/13226613#:~:text=Resposta%20verificada%20por%20especialistas&text=Como%20tem%20dois%20termos%20no,contr%C3%A1rios%20para%20efetuar%20a%20subtra%C3%A7%C3%A3o.

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