Question

Dado o polinômio Q(x) = (a2– 4)x5+ (a + 2)x2– x + 5, sendo a um número real,
calcule:
(A) O valor de a para que Q(x) seja do 3º grau.
(B) O valor de a para que Q(x) seja do 2º grau.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Samaralacerda, que a resolução é simples.
Tem-se: dado o polinômio abaixo:

Q(x) = (a²-4)x⁵ + (a+2)x² - x + 5

Agora vamos responder a cada uma das questões propostas, de forma bem passo a passo para um melhor entendimento:

a) Qual o valor de "a' para que o polinômio Q(x) seja do 3º grau.
Resposta: não haverá essa possibilidade, pois a equação dada não tem coeficientes em "x³". Logo, não tendo nenhum coeficiente acompanhado de "x³", também não haverá valores de "a' que façam com que o polinômio dado seja do 3º grau.
Logo, a resposta para o item "a" será:

Não haverá possibilidade de Q(x) ser do 3º grau <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) Qual o valor de "a' para que o polinômio Q(x) seja do 2º grau
Aqui é bem simples. Basta que igualemos a zero o coeficiente de "x⁵". Note que o coeficiente de "x⁵" é (a² - 4). Então vamos impor que ele seja igual a zero. Assim, impondo isso, teremos:

a² - 4 = 0
a² = 4
a = ± √(4) ---- como √(4) = 2, teremos;
a = ± 2 --- ou seja, teremos que:

a = - 2
a = 2

Mas note: se "a' for igual a "-2", então quando formos substituir no coeficiente de "x²", iremos zerar o coeficiente. Logo, deveremos descartar a raiz igual a "-2" e ficaremos apenas com a outra raiz (a = 2).

Assim teremos que:

a = 2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Observação: Note que ao fazermos o coeficiente de "x⁵" igual a zero, então o polinômio Q(x) ficou assim: Q(x) = (a+2)x² - x + 5 . E o coeficiente (a+2) só será preservado se a = 2. Note que ele passaria a não existir se "a' fosse igual a "-2", pois ele zeraria para a = - 2 e, assim, também não existiria a equação do 2º grau pedida. Por isso é que o único valor de "a'' que preserva Q(x) como uma equação do 2º grau é a = 2, como demos na nossa resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.