Question

Dado o polinômio P(x)= 3x³ - 16x² + 23x-6, determine:
a) se é divisivel por algum polinômio a seguir, por x-2 ou x-3;
b) quais as raizes desse polinômio.

Answer 1

a)
Vamos dividir o polinômio P(x) por "x - 2" e verificar se o resto da divisão é zero.

3x³ - 16x² + 23x - 6 |_ x - 2
3x³ - 6x²                    3x² - 10x + 3
--------------------------
       -10x² + 23x - 6
       -10x² + 20x
       --------------------
                     3x - 6
                     3x - 6
                   ----------
                        0

Como o resto da divisão é zero, concluímos que P(x) é divisível por "x - 2".

Agora, podemos reescrever o polinômio P(x) como a multiplicação de "x - 2" e do polinômio "3x² - 10x + 3" que é o quociente obtido da divisão acima. Assim, temos que:

P(x) = 3x³ - 16x² + 23x - 6
P(x) = (x - 2) * (3x² - 10x + 3)

Portanto, para que P(x) seja divisível por "x - 3", temos que o polinômio "3x² - 10x + 3" seja divisível por "x - 3". Vamos realizar a divisão e verificar se o resto é zero.

3x² - 10x + 3  |_ x - 3
3x² - 9x             3x - 1
-----------------
        -x + 3
        -x + 3
      -----------
           0

Portanto, o polinômio "3x² - 10x + 3" é divisível por "x -3" e, consequentemente, o polinômio P(x) também é divisível por "x - 3".

b)
Agora, vamos reescrever o polinômio P(x) como a multiplicação de "x - 2", "x - 3" e "3x - 1", como segue:

P(x) = 3x³ - 16x² + 23x - 6
P(x) = (x - 2) * (3x² - 10x + 3)
P(x) = (x - 2) * (x - 3) * (3x - 1)

Agora vamos igualar o polinômio P(x) a zero para determinar suas raízes:

P(x) = 0
(x - 2) * (x - 3) * (3x - 1) = 0

Veja que temos a multiplicação de três fatores, para que o resultado seja zero, pelo menos um deles deve ser zero. Assim, temos que:

x' - 2 = 0
x' = 2

ou

x'' - 3 = 0
x'' = 3

ou

3x''' - 1 = 0
3x''' = 1
x''' = 1/3

Portanto, as raízes do polinômio P(x) é {1/3, 2, 3}.