Question

Dado o plano π: x + 2y - 2z - 8 = 0 e a reta s: { x-1/2 = y-2/2 = z, pede-se:
A equação geral dos planos α paralelos ao plano π, cuja distância ao ponto P(3,1,-1) seja 2.

Answer 1

Na equação de um plano $\beta:~ax+by+cz+d=0$, temos que (a,b,c) são as coordenadas de um vetor normal ao plano. Assim, (1,2,-2) é um vetor normal ao plano π dado.

Se um vetor é normal a dois planos distintos, esses planos são paralelos entre si. Como queremos um plano α paralelo a π, basta que usemos o fato de que (1,2,-2) também é normal a α. Assim, podemos dizer que α é da forma:
$\alpha:~x+2y-2z+d=0$

Agora, vamos usar o dado da distância do ponto P ao plano α. Devemos saber que a distância entre um ponto Q(x₀,y₀,z₀) e um plano β (ax+by+cz+d=0) é dada por:

$d(Q,\beta)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Substituindo os valores que temos na fórmula acima:

$d(P,\alpha)=\dfrac{|1x_p+2y_p-2z_p+d|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}\\\\ 2=\dfrac{|1\cdot3+2\cdot1-2\cdot(-1)+d|}{\sqrt{1+4+4}}\\\\ 2=\dfrac{|3+2+2+d|}{\sqrt{9}}\\\\ 2=\dfrac{|7+d|}{3}\\\\ |7+d|=6\\\\ \Longrightarrow\begin{cases}7+d_1=6\iff \boxed{d_1=-1}\\7+d_2=-6\iff\boxed{d_2=-13}\end{cases}$

Assim, temos duas possibilidades para o plano α:

$\boxed{\boxed{\alpha_1:~x+2y-2z-1=0}}\\\\ \boxed{\boxed{\alpha_2:~x+2y-2z-13=0}}$