Question

Dado o número complexo z=√3 + i,

calculando o Z^4, obtém-se:

Answer 1

Temos que z=√3 + i.Assim:

z^4=(√3 + i)^4 = (√3 + i)² * (√3 + i)² = (3+2i√3 + i²) * (3+2i√3 + i²)

Aplicando a distributividade:

9+6i√3+3i²+6i√3+12i²+2i³√3+3i²+2i³√3+i^4

Simplificando:

9+12i√3+18i²+4i³√3+i^4

A unidade imaginária i é definida tal que i=√-1 e i²= -1.Assim,i³= -i e i^4=1.Portanto,temos:

9+12i√3 + 18*(-1)+4*(-i)√3+1 = 9+12i√3 -18-4i√3+1 = -8+8i√3

Item a

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Rfiori, que a resolução é simples.
Tem-se: sabendo-se que z = √(3) + i, pede-se o valor de z⁴.
Assim, elevando a expressão original à 4ª potência, teremos:

z⁴ = [√(3) + i]⁴ ---- note que poderemos reescrever isto da seguinte forma:
z⁴ = {[√(3)+i]²}² ---- desenvolvendo o 1º quadrado, teremos isto:
z⁴ = {3 + 2√(3)i + i²}² ---- note que i² = -1. Assim:
z⁴ = {3 + 2√(3)i - 1]² ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
z⁴ = {2 + 2√(3)i}² ---- agora desenvolveremos o 2º quadrado, ficando:
z⁴ = 4 + 4*2√(3)i + 4*3*i²
z⁴ = 4 + 8√(3)i + 12i² ---- como i² = -1, teremos:
z⁴ = 4 + 8√(3)i + 12*(-1) --- ou apenas:
z⁴ = 4 + 8√(3)i - 12 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
z⁴ = - 8 + 8√(3)i <--- Esta é a resposta. É logo a 1ª opção.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.