Question

Dado o número complexo Z = 1/2 + √3/2 i, determine a potência Z8
ME AJUDAAA PF SE POSSÍVEL A RESOLUÇÃO

Answer 1

Para resolver a potência precisamos transformar o número complexo para a forma trigonométrica. Sabemos que se z = a + bi, a sua forma trigonométrica é:

$z = \rho (cos \theta + isen \theta)$

Onde $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$

Então se z = 1/2 + √3i/2 vamos calcular $\rho$

$\rho = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left (\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}$

$\rho = \sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)+ \left (\dfrac{3}{4}\right)}$

$\rho = \sqrt{\dfrac{3+1}{4}}\\\\\\rho = \sqrt{\dfrac{4}{4}}\\\\\rho = \sqrt{1}\\\\\rho = 1$

Para descobrir o ângulo $\theta$ fazemos:

$sen \ \theta = \dfrac{b}{\rho} = \dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\cos \ \theta = \dfrac{a}{\rho} = \dfrac{\dfrac12}{1} = \dfrac12$

Assim o ângulo cujo seno é √3/2 e o cosseno é 1/2 é $\theta$ = 60. Ou, em radianos π/3

Finalmente, nosso número complexo na forma trigonométrica é:

$z = 1 \left(cos \dfrac{\pi}{3} + isen\dfrac{\pi}{3} \right)$

Para elevá-lo a 8ª potencia, usamos a fórmula abaixo, substituindo os termos pelos valores que encontramos de $\rho$, $\theta$ e a potencia.

$z^n = \rho^n (cos \ n\cdot \theta + isen \ n \cdot \theta )\\\\\z^8 = 1^8 \left(cos \left( 8\cdot \dfrac{\pi}{3} \right) + isen \left( 8 \cdot \dfrac{\pi}{3} \right) \right)\\\\\\z^8 = cos \ \dfrac{8\pi}{3} + isen \ \dfrac{8\pi}{3}$

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