Question

Dado o n-ésimo termo an de uma sequência $(a_n){} _{n}$, ache os quatro primeiros termos, determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite $\lim_{n \to \infty} a_n$.
a)$a_{n} =\frac{n+1}{2n}$
b)$a_{n} =(1 - \frac{1}{n^{2} } )^{2}$

Answer 1

Resposta:

a)

$a_1 = 1 \\\\a_2 = \frac{3}{4} \\\\a_3 = \frac{2}{3}\\\\a_4 = \frac{5}{8}$,

$a_n$ converge e seu limite é

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}$.

b)

$a_1 = 0 \\\\a_2 = \frac{9}{16} \\\\a_3 = \frac{64}{81} \\\\a_4 = \frac{225}{256}$,

$a_n$ converge e seu limite é

$\lim_{n \to \infty} a_n = 1$.

Resolução:

Basta substituir $n = 1, 2, 3, 4$ na lei de formação da sequência para achar os quatro primeiros termos. Quanto à convergência ou divergência, apesar de no caso específico das sequências do enunciado ser óbvio, utilizamo-nos do seguinte

Teorema da Convergência Monótona:

"Toda sequência monótona limitada é convergente. De forma mais geral, uma sequência monótona não-decrescente (ou crescente) limitada superiormente converge, e, analogamente, uma sequência monótona não-crescente (ou decrescente) limitada inferiormente converge."

a) Os quatro primeiro termos são

$a_1 = \frac{2}{2} = 1 \\\\a_2 = \frac{3}{4} \\\\a_3 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\\\\a_4 = \frac{5}{8}$.

À luz do teorema acima, observe que $a_n$ é monótona decrescente, tendo em mente que $n \geq 1$:

$a_n - a_{n+1} =\frac{n + 1}{2n} - \frac{n + 2}{2(n + 1)} = \frac{1}{2n(n + 1)} > 0\\\implies a_n > a_{n + 1}$.

Também temos que $a_n$ é limitada inferiormente:

$n \geq 1 \implies a_n = \frac{n + 1}{2n} > 0$.

Logo, $a_n$ converge. Partindo para o limite, temos

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$.

b) Os quatro primeiro termos são

$a_1 = 0 \\\\a_2 = \frac{9}{16} \\\\a_3 = \frac{64}{81} \\\\a_4 = \frac{225}{256}$.

Observe que $a_n$ é monótona crescente:

$\frac{1}{(n + 1)^2} < \frac{1}{n^2} \\\implies -\frac{1}{(n+1)^2} > -\frac{1}{n^2} \\\implies 1-\frac{1}{(n+1)^2} > 1-\frac{1}{n^2} \\\implies (1-\frac{1}{(n+1)^2})^2 > (1-\frac{1}{n^2})^2$.

A transição da terceira pra quarta linha só é verdadeira porque, para $n \geq 1$, podemos ter certeza que $\frac{1}{n^2} \leq 1$ e portanto $1 - \frac{1}{n^2} \geq 0$ e $1 - \frac{1}{(n + 1)^2} \geq 0$. Não se desatente!

Tambéms temos que $a_n$ é limitada superiormente:

$a_n = (1 -\frac{1}{n^2})^2 \leq 1 -\frac{1}{n^2} < 1$.

Novamente, a desigualdade só vale pois para $n \geq 1$, temos $1 - \frac{1}{n^2} \geq 0$. Partindo para o limite, temos

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^2 = \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^4} = 1 - 0 + 0 = 1$.